Достижимость и связность

Систему связи любой организации можно интерпретировать как граф, в котором люди представимы вершинами, а каналы связи – с дугами. При рассмотрении такой системы естественно задать вопрос: может ли информация от одного лица x_i быть передана другому лицу x_j, то есть, существует ли путь, идущий от вершины x_i к вершине x_j? Если такой путь существует, то говорят, что вершина x_j достижима из вершины x_i. Можно также интересоваться достижимостью на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины.

Матрицы достижимости и контрдостижимости

Задан граф G (X, Г)

Рис.30

– множество вершин, достижимых из вершины х_i на путях длиной 1.

- множество вершин, достижимых из вершины х_i на путях длиной 2.

- множество вершин, которые достижимы из вершины х_i с использованием путей длины Р.

Т.к. любая вершина графа G, которая достижима из вершины х_i, может быть достижима с использованием пути (или путей) длиной 0 или 1 или 2 или ... или Р, то множество вершин, достижимых из х_i, можно представить в виде:

(1)

– множество может быть получено последовательным выполнением операций объединения (1) до тех пор, пока текущее множество не будет увеличиваться по размеру при очередной операции объединения.

Число объединений, которые необходимо выполнить зависит от графа, но число Р меньше числа вершин графа, следовательно, матрицу достижимости R можно построить следующим образом:

1. Находим достижимость множества для всех вершин графа, используя формулу (1);

2. Полагаем, что , если и , если .

Матрица контрдостижимости Q определяется следующим образом:

1. , если из вершины х_j можно достигнуть в вершину х_i;

2. , если из вершины х_j нельзя достигнуть в вершину х_i.

Аналогично построению достижимости множества с помощью формулы (1) можно построить множество следующим образом:

(2).

Для данного графа:

(как бы делаем возврат назад).

Операция объединения выполняется слева направо до тех пор, пока очередная операция объединения не перестанет изменять текущее множество .

Из приведенного определения следует, что столбец матрицы Q совпадает со строкой матрицы R, т.е. Q = R^Т.

Пример: найти матрицу достижимости и контрдостижимости для данного графа

Рис.31

Построение матрицы достижимости:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇

матрица достижимости

Построение матрицы контрдостижимости:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇

матрица контрдостижимости

Т.к. является множеством вершин, достижимых из х_i, а является множеством вершин, из которых можно достигнуть в х_j, то пересечение есть множество таких вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему из вершины х_i в вершину х_j. Эти вершины называются существенными относительно двух конечных вершин, идущих из вершины х_i в вершину х_j. Все остальные вершины являются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на путь из х_i в х_j.