Операции над графами

I Объединение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция объединения графов производится по следующим правилам:

1. Множеством вершин результирующего графа G (X, Г) является объединение множество вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается путём объединения отображений той же вершины для исходных графов

(рис.20)

Рис.20

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

Рис.21

II Пересечение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция пересечения графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа G (X, Г) является пересечением множеств вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается путём пересечения отображений той же вершины для исходных графов

Пример:

Рис.22

III Разность графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция разности графов производится по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа G (X, Г) является множеством вершин графа G₁ без множества вершин графа G₂

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа получается как разность между всем множеством вершин Х и отображением рассматриваемой вершины в G₁

Пример:

х₃

G (X, Г)

Рис.23

IV Произведение графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция произведения графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множеством вершин результирующего графа G (X, Г) является объединение множеств вершин исходных графов

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа определяется по правилу: , где – отображение вершины в графе G₁, – отображение вершин множества в графе G₂ .

Пример: даны два графа G₁ и G₂

х₁

х₃

х₂

х₄

Рис.24

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

Рис.25

V Декартовое произведение двух графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция декартового произведения двух графов производится по следующим правилам:

1. Вершины декартового произведения получаются путём последовательного сочетания каждой из вершин первого графа с каждой из вершин второго графа

2. Отображение каждой вершины результирующего графа получается путём возможных сочетаний каждого отображения графа G₁ с каждым из отображений графа G₂ для соответствующих вершин

Пример: даны два графа G₁ и G₂

Рис.26

G₁ (X₁, Г₁) G₂ (X₂, Г₂)

{x₁, a₂}

Рис.27

и так далее для каждой вершины

VI Сумма графов

G (X, Г) = , где G₁ и G₂ – исходные графы.

Операция суммы графов осуществляется по следующим правилам:

1. Множество вершин результирующего графа получается таким же образом, как и в операции декартового произведения

2. Отображение для каждой вершины результирующего графа G получается путём объединения двух сочетаний, одно из которых образовано отображениями вершины графа G₁ с вершиной графа G₂, а другое – вершиной графа G₁ и отображением вершины в графе G₂

Пример:

VII Расширение графа – превращение дуги, соединяющей любые две вершины, в

элементарный путь.

Рис.28

до расширения после расширения

VIII Стягивание графа – на множестве вершин графа выделяется подмножество вершин

и производится стягивание вершин этого подмножества в одну вершину.

Рис.29

до стягивания после стягивания