Раскраска

Разнообразные задачи, возникающие при планировании производства, составлении графиков, осмотре, хранении и транспортировке товаров, могут быть представлены как задачи теории графов, связанные с задачей раскраски.

Пусть G(X) это граф с однократными ребрами и без петель. Граф G(X) называется р-хроматическим, если существует разложение множества его вершин на р-пересекающихся классов .

;

Причем ребра G(X) соединяют вершины только из различных классов.

Разложение множества вершин графа на такие подмножества называется р-раскраской графа G , если считать, что каждому классу соответствует свой цвет, при этом каждая вершина окрашивается таким образом, чтобы концы любого ребра имели различный цвет.

Если описать цвета классов целыми числами , то можно ввести функцию раскраски графа .

Хроматическим числом графа G(X) называется наименьшее число р, при котором граф G(X) является р-хроматическим.

Двудольным графом называется граф G(X₁,X₂) , в котором множество вершин , причем .

Каждое ребро , где соединяет вершину с вершиной .

Граф будет двуххроматическим, когда он будет двудольным.

Полный граф из n вершин имеет хроматическое число, равное n.

Частным видом функции раскраски является функция Гранди. Функция Гранди конечного графа G(X) называется функцией , относящая каждой вершине х число . Граф может не допускать функции Гранди, если, например, у него есть петля. Граф также может иметь более одной функции Гранди.

Внутренне устойчивым подмножеством множества вершин графа G(X) называется множество X, между вершинами которого нет соединяющих ребер. Отсюда следует, что во внутренне неустойчивом подмножестве вершин графа хотя бы две вершины графа соединены ребром.

Полностью неустойчивым подмножеством множества вершин графа называется подмножество вершин графа, в котором каждая пара вершин соединена ребром. Такое подмножество еще называется кликой.

Подграф, порождённый полностью внутренне неустойчивым подмножеством графа, содержит полный граф на множестве этих вершин.

Максимальным внутренне устойчивым подмножеством множества вершин графа есть такое внутренне устойчивое множество, которое становится внутренне неустойчивым при добавлении любой вершины графа.

Пример:

x₁ x₃

x₂

x₆ x₄

x₅

Рис.53

- максимально устойчивое подмножество

- устойчивое подмножество

- неустойчивое подмножество

Следует отметить, что любое внутренне устойчивое множество вершин графа содержится в некотором максимальном внутренне устойчивом множестве его вершин.