Лекция 13. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка, приведение их к каноническому виду и нахождение общего решения
Рассмотрим уравнение
, (13.1)
которое можно также записать в виде
, (13.1*)
и уравнение
, (13.2)
которое можно также записать в виде
, (13.2*)
где u – искомая функция х и у; A, B, C, E, D, K – коэффициенты, которые могут быть как функциями х и у, так и постоянными величинами, некоторые из которых могут быть равные нулю.
Уравнение (13.1) или (13.1*) называется линейным, а уравнение (13.2) или (13.2*) называется квазилинейным, поскольку оно линейно только относительно старших производных, входящих в это уравнение.
Линейные уравнения в частных производных классифицируются на три типа:
- линейные уравнения гиперболического типа (ГТ);
- линейные уравнения параболического типа (ПТ);
- линейные уравнения эллиптического типа (ЭТ).
Для того, чтобы классифицировать уравнения в частных производных необходимо проанализировать выражение
В2 – АС,
состоящее из коэффициентов при старших производных в уравнениях (13.1) - (13.2*).
Если В2 – АС > 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ГТ.
Если В2 – АС = 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ПТ.
Если В2 – АС < 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ЭТ.
Определим, к какому типу принадлежат волновое уравнение, уравнение теплопроводности и стационарные уравнения, например, уравнение Лапласа.
1. Запишем волновое уравнение, описывающее свободные колебания струны
и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов
А = -а2; В = 0; С = 1,
вычислив выражение
В2 – АС = 02 – (-а2)×1 = а2 > 0,
убедимся в том, что все волновые уравнения принадлежат к уравнениям ГТ.
2. Запишем уравнение теплопроводности, описывающее распределение нестационарного температурного поля в тонком стержне без влияния внешних источников температуры
и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов
А = -а2; В = 0; С = 0,
вычислив выражение
В2 – АС = 02 – (-а2)×0 = 0,
убедимся в том, что все уравнения, описывающие тепловые и диффузионные процессы, принадлежат к уравнениям ПТ.
3. Запишем стационарное уравнение Лапласа, описывающее распределение нестационарного температурного поля в мембране без влияния внешних источников температуры
и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов
А = 1; В = 0; С = 1,
вычислив выражение
В2 – АС = 02 – 1×1 = -1< 0,
убедимся в том, что все стационарные уравнения принадлежат к уравнениям ЭТ.
Рассмотрим уравнение (13.1*) для того, чтобы проинтегрировать это уравнение необходимо по возможности привести его наиболее простому виду, то есть привести его к канонической форме.
Переход к канонической форме можно осуществить с помощью общих интегралов обыкновенного дифференциального уравнения второй степени
, (13.3)
которое называется уравнением характеристик для уравнения (13.1*), а его интегралы характеристическими кривыми, или характеристиками.
Уравнение (13.3) можно, поделив на (dx)2, привести к виду
. (13.3*)
Это уравнение представляет собой уравнение первого порядка, второй степени, которое можно легко разрешить относительно производной
.
Полученное уравнение распадается на два уравнения
. (13.4)
Решая эти уравнения, найдем два интеграла, т.е. два семейства характеристик:
.
Используя эти интегралы, введем новые независимые переменные
. (13.5)
Вычислим все производные, входящие в уравнение (13.1*):
(13.6)
Подставляя вычисленные производные в уравнение (13.1*), получим его каноническую форму.
I. Для уравнений гиперболического типа уравнение характеристик имеет вид (13.3*), которое распадается на уравнения (13.4). С помощью их интегралов, произведя замену переменных (13.5) и, вычислив производные (13.6), после подстановки их в исходное уравнение, получим каноническую форму уравнения гиперболического типа
(13.7)
II. Для уравнений параболического типа уравнения характеристик принимает вид одного уравнения
,
которое имеет только одно семейство характеристик:
.
В этом случае для
того, чтобы произвести замену переменных
(13.5), необходимо в качестве недостающего
второго интеграла C2
выбрать некоторую произвольную функцию
,
такую, чтобы она была линейно независимая
с функцией
,
т.е. для интегралов C1
и C2
должно выполнятся
.
После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение параболического типа получим его каноническую форму
.
(13.8)
III. Для уравнений эллиптического типа уравнения характеристик принимает вид (13.3*) и оно распадается на два уравнения в комплексной форме:
,
и
.
следовательно, уравнения (13) имеют два комплексно-сопряженных интеграла
,
причем
функции
являются действительными функциями
своих аргументов и с их помощью вводим
новые переменные, причем
.
После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение эллиптического типа получим его каноническую форму
. (13.9)
Пример 13.1. Привести к каноническому виду уравнение:
. (П13.1.1)
▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка
(П13.1.2)
и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.1.2) и в исходном (П13.1.1):
.
Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение:
,
следовательно, исходное уравнение (П13.1.1) принадлежит к уравнениям гиперболического типа.
Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
Следовательно, С1 и С2 определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид
Найдем
в новых переменных
.Таким
образом, исходное уравнение (П13.1.1)
в новых переменных имеет вид:
и после преобразований, получим
,
с
учетом того, что
каноническая форма исходного уравнения
имеет вид:
.▲
Пример 13.2. Привести к каноническому виду уравнение:
. (П13.2.1)
▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка
(П13.2..2)
и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.2.2) и в исходном (П13.2..1):
.
Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение (П13.2.1)
,
следовательно, исходное уравнение (П13.2.1) принадлежит к уравнениям параболического типа.
Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
Произведем
замену переменных
и
вычислим
:
Подставим полученные производные в исходное уравнение (П13.2.1) и после преобразований, получим
так
как
.
Таким образом, окончательно каноническая форма исходного уравнения (П13.2.1) имеет вид:
.▲
Пример 13.3. Привести к каноническому виду уравнение:
.
▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка
и сравним коэффициенты при производных в уравнении и в исходном:
.
Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение
,
следовательно, исходное уравнение принадлежит к уравнениям эллиптического типа.
Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
.
Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик
.
Произведем замену
и вычислим :
Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения
или
.▲
Пример 13.4. Найти решение уравнения
,
▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
или
.
Это степенное уравнение первого порядка распадается на два уравнения
и
Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик
.
Произведем замену
и
вычислим
:
Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований
окончательно получим каноническую форму исходного уравнения
.▲
Приведение исходного уравнения к канонической форме в ряде случаев позволяет достаточно легко найти общее решение исходного уравнения. Поскольку в данном методе используется уравнение характеристик (13.3), то данным метод нахождения общего решения называется методом характеристик. Рассмотрим примеры нахождения решения уравнений методом характеристик.
Пример 13.5. Найти общее решение уравнения:
.
▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка
и сравним коэффициенты при производных в этом уравнении и в исходном:
Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
Следовательно, С1 и С2 определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид
Найдем
в новых переменных
Подставим полученные производные в исходное уравнение, и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения
или
Интегрируя дважды это уравнение, получим решение
Возвращаясь к «старым» переменным х и у, запишем окончательно общее решение исходного уравнения
.▲
Пример 13.6. Найти решение уравнения
,
▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
,
которое распадается на два уравнения
,
для которых семейство характеристик имеет вид
.
Заменой переменных
,
приведем исходное уравнение к каноническому виду.
Вычислим
:
Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения
или
(П13.6.1)
Сделаем замену
,
(П13.6.2)
тогда уравнение (П13.6.1) принимает вид
Это однородное
линейное уравнение, которое к тому же
является уравнением с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, найдем
.
Подставив найденную функцию в (П13.6.2) и проинтегрировав полученное выражение, окончательно получим решение уравнения (П13.6.1)
.
Обозначив
,
получим
и, возвращаясь к «старым» переменным получим общее решение исходного уравнения
.▲
Пример 13.7. Найти решение уравнения
,
▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
,
которое распадается на два уравнения
,
для которых семейство характеристик имеет вид
.
Заменой переменных
,
приведем исходное уравнение к каноническому виду.
Вычислим :
Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения
,
если а ≠ 0, то окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом
. (П13.7.1)
Уравнение (П13.7.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид
.▲
Пример 13.8. Найти решение уравнения
,
▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:
,
которое распадается на два уравнения
,
для которых семейство характеристик имеет вид
.
Заменой переменных
,
приведем исходное уравнение к каноническому виду.
Вычислим :
Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения
окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом
. (П13.8.1)
Уравнение (П13.8.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид
.▲