21.5. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)

Предыдущие выкладки показывают, что если - какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть

то

(21.20)

будет оригиналом, имеющим изображение .

В частности, если все полюсы - простые, то

; ,

и для оригинала, имеющего изображение , получим формулу

(21.21)

Заметим еще, что если

(21.22)

то соответствующим оригиналом будет

(21.23)

Таким образом, нахождение оригинала по заданному рациональному изображению сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Пример 21.1. Найти оригинал , имеющий изображение

.

Разложим это изображение на простейшие дроби:

.

Первое слагаемое в полученном изображении можно умножить и разделить на 2: , т.к. при и . Учитывая формулу (1.8), запишем оригинал этого изображения:

≒ .

Второе слагаемое представим в виде: , которое соответствует виду изображения (21.22) - , при , , и . Учитывая формулу (21.23), запишем оригинал этого изображения: ≒ .

Таким образом, окончательный вид оригинала, соответствующий исходному изображению, будет:

≒ .

Пример 21.2. Найти оригинал , имеющий изображение .

Рассмотрим два метода.

1. Разложение изображения на сумму изображений.

Представим исходное изображение в виде суммы простых дробей

С учетом того, что

≒t^m, то при m = 1, будем иметь ≒t и ≒1;

≒ , то при α = -1, будем иметь ≒e^-t.

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t-1+e^-t, т.е.

≒ t-1+e^-t.

2. Разложение изображения на произведение изображений.

Обозначим

≒e^-t = f₁(t) и ≒t = f₂(t).

Применив формулу Дюамеля ≒ _, получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t-1+e^-t, т.е.

≒ t-1+e^-t.

Пример 21.3. Найти оригинал , имеющий изображение .

Обозначим

≒ = f₁(t) и ≒ e^t = f₂(t).

Применив формулу Дюамеля ≒ _, получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида , т.е.

≒ .

21.6. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности

1. Для изображения регулярного в бесконечности.

Для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.

Определим понятие целой функцией экспоненциального типа. Итак, целая функция комплекснозначного переменного называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные числа и , чтобы для всех комплексных значений выполняется неравенство

. (21.24)

Существует также лемма, которая доказывает, что для того чтобы степенной ряд

, (21.25)

изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых чисел и выполнялись неравенства

. (21.26)

,

Необходимо отметить, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.

Приведенная лемма позволяет реализовать доказательную базу приведенного выше утверждения о том, что для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.

Необходимо отметить, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа. Из этого замечания заключаем, что с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю.

2. Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности).

Предыдущим изложением показано, что если – какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее разложение в виде ряда Лорана в окрестности бесконечности, то выражение

(21.27)

будет оригиналом, имеющим изображение вида - .

3. Изображение бесселевых функций.

Функция Бесселя 1-го рода -го порядка, являющаяся первым частным решением уравнения Бесселя при имеет вид:

или

.

Следовательно, можно утверждать, что функция является целой функцией экспоненциального типа вида - , у которой . Таким образом, изображение этой функции определяется формулой (1.29) - . Поэтому изображение будет иметь вид: , и окончательно получим

≒ .

При получим

≒

С другой стороны, биномиальное разложение правой части приводит изображение к виду

,

следовательно, получим

≒ .

Используя метод индукции можно записать изображение бесселевой функции при любом положительном n:

≒ (21.28)

Если изображение имеет вид , то этому изображению соответствует оригинал вида:

≒ (21.29)

и при

≒ .

В таблице 21.1 приведены наиболее часто встречающиеся оригиналы функций и соответствующие им изображения.

Таблица 21.1.

	Оригинал –	Изображение –
1	2	3
1.	( )
2.	( , целое)
3.
4.
5.	( )
6.
7.
8.	tnsin bt
9.
10.
11.
		Продолжение табл.21.1
1	2	3
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
		Продолжение табл. 21.1
1	2	3
26.
27.