
- •Часть 2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Лекция 11. Уравнения в частных производных первого порядка
- •11.1. Линейные и квазилинейные уравнения
- •11.2. Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики
- •11.3. Решение задачи Коши
- •12.2. Уравнение колебаний стержня
- •12.3. Уравнение теплопроводности и диффузии
- •12.4. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •Лекция 13. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка, приведение их к каноническому виду и нахождение общего решения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 14. Начальные и граничные условия
- •14.1. Начальные условия
- •14.2. Краевые задачи
- •Лекция 15. Решение задачи коши для волнового уравнения
- •15.1. Решение задачи Коши методом Даламбера
- •15.2. Решение задачи Коши для волнового уравнения методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16. Решение граничных задач волнового уравнения
- •16.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны
- •16.2. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения вынужденных колебаний струны
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16 (продолжение). Задача о напряженном состоянии элемента вооружения долота режущего действия
- •Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений
- •17.1. Методы решения задачи Коши
- •Задания для самостоятельной работы
- •17.2. Методы решения граничных задач
- •Лекция 17 (продолжение). Расчет глубины промерзания связанных горных пород
- •Лекция 18. Стационарные уравнения. Уравнение лапласа и методы его решения
- •18.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
- •18.2. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 19. Уравнение неразрывности и уравнения эйлера
- •19.1. Гипотеза сплошности
- •19.2. Установившееся и неустановившееся движения.
- •19.3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •19.4. Закономерности распространения плоских упругих волн
- •Лекция 20. Закономерности преломления и отражения плоских упругих волн на плоскости контакта твердых тел
- •Часть 4. Преобразование лапласа и его применение при решении дифференциальных уравнений Лекция 21. Преобразование лапласа
- •21.1. Преобразование Лапласа
- •21.2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •21.3. Свертка функций
- •21.4. Оригиналы с рациональными изображениями
- •21.5. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)
- •21.6. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности
- •Лекция 22. Практическое применение преобразования лапласа
- •22.1. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •22.2. Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных
- •Лекция 23. Миграционная подмодель радиогеоэкологической модели подземного регионального хранилища радиоактивных отходов и ядерных материалов
- •Вопросы к экзамену по дисциплине: «Дифференциальные уравнения в горном деле»
19.4. Закономерности распространения плоских упругих волн
Первой моделью, которую мы рассмотрим, станет модель идеального сжимаемого газа. Эта модель используется для описания, например, распространение плоских, имеющая непосредственное отношение к процессам формирования и распространения воздушных ударных волн при ведении взрывных работ, а также к процессам детонации ПВВ, действию ударных волн в горных породах и т.д.
Идеальный
совершенный газ характеризуется
отсутствием в нем
касательных напряжений, т.е. σij
= 0, (i
≠ j).
При
этом напряжение
в точке определяется только шаровым
тензором, не зависящим
от ориентации площадки, на которой
рассматривается
вектор напряжения
.
Так что напряжение в этом случае является
скалярной величиной, которую обычно
принято обозначать буквой р.
Кроме
того, в аэрогидродинамике принято
сжимающее
напряжение считать положительным, а
растягивавшее —
отрицательным, так что в рассматриваемом
случае уравнение неразрывности (19.2) и
соотношение (19.4) об изменении количества
движения дают четыре скалярных уравнения
; (19.6)
или
для пяти неизвестных p, ρ,vx, vy, vz (второе векторное уравнение соответствует трем скалярным — по каждой оси координат). Уравнение же моментов количества движения превращается в тождество и новых соотношений для указанных величин не дает.
Распространение ударных и упругих волн в газах — быстропротекающие процессы, теплообмен их с окружавшей средой не успевает существенно изменить их термодинамическое состояние. Поэтому приближенно такие процессы рассматриваются как процессы без теплообмена, а распространение упругих ноли — как процесс без изменения энтропии частиц. С учетом этого обстоятельства и невозможности существования вечного теплового двигателя второго рода для совершенных газов установлено еще одно соотношение
(197)
где
А
—
некоторая постоянная;
;
ср
—теплоемкость
газа
при постоянном давлении (
);
cV
—
теплоемкость газа
при постоянном объеме.
При
этом постоянная А
через
начальные значения р0
и
ρ0
выражается
соотношением
,
так что выражение (19.7) записывается
в виде
(19.8)
и носит название адиабаты Пуассона.
Величина γ для многих газов при атмосферных условиях изменяется в сравнительно небольших пределах от 1,3 до 1,5. Для воздуха γ = 1,41, для ПД γ = 1,35.
Система уравнений (19.6) и (19.8) позволяет полностью рассчитать любой процесс, при этом по формуле Клапейрона
(19.9)
может быть рассчитана и температура Т газа, где R = cp-cv — газовая постоянная, равная для воздуха 287,042 м2/с2·градус.
Скорость распространения упругих волн в газах определяется соотношением
(19.10)
что по адиабате Пуассона (19.8) дает выражение
(19.11)
Рассмотрим теперь распространение в воздухе плоской упругой волны малой амплитуды. Направим ось X вдоль направления движения волны. В этом случае все параметры волны будут функциями только двух переменных — координаты X и времени t. Вследствие этого для упрощения записи индекс x у всех величин опустим, имея в виду, что vx = v и т.д. Исходными для анализа этих волн являются уравнения (19.6) и (19.7). В рассматриваемом случае имеем
потому
что
есть
произведение двух малых величин
и
и на порядок меньше
;
а величины
,
потому что
ρ
не зависит от Y
и
Z.
Таким образом, уравнение неразрывности преобразуется к следующему виду
(19.12)
Аналогичным образом преобразуется уравнение движения:
(19.13)
Уравнения (19.12), (19.13) совместно с уравнением (19.8) составляют замкнутую систему уравнений для определения неизвестных ρ,v,p. Причем, если принять одну из них за независимую переменную (например, ρ), то две других (соответственно, v u p), будут однозначно выражаться через первую.
Выполним некоторые преобразования и установим вид уравнения, которому подчиняются ρ,v,p, описывающие распространение упругих плоских волн малой амплитуды, приняв ρ за основную независимую величину для трех из них. По правилу дифференцирования сложной функции с учетом (19.8) можно записать
(19.14)
Из уравнения (19.12) следует, что
.
Подставив полученную производную в уравнение (19.14), получим
. (19.15)
Уравнение (19.13) перепишем в виде:
(1.5.16)
Теперь продифференцируем первое уравнение в (19.15) по х,
, (19.17)
а уравнение (19.16) по t
. (19.18)
В уравнениях (19.17) и (19.18) равны левые части, следовательно, и правые части этих уравнений также равны
.
Таким образом, получаем уравнение
, (19.19)
которое является однородным гиперболическим уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает распространение волн малой амплитуды, поэтому его называют волновым. Уравнение (19.19) имеет общее решение:
(19.20)
где первый член описывает распространение волны в положительном направлении оси X, а второй член — в отрицательном направлении оси X. Проведя аналогичные преобразования, получим, что и давление р будет удовлетворять аналогичному волновому уравнению, а его решение будет описываться формулой
(19.21)
Установим
связь между функциями v
и
р.
Рассмотрим
для определенности
только f1
и
φ1
и обозначим
.
По второму уравнению (19.16) находим
(19.22)
Интегрируя уравнение (19.22) по х, получим
(19.23)
Дифференцируем (1.5.23) по t
(19.24)
Из уравнения (19.15) следует, что
.
Дифференцируем (19.21) по x
(19.25)
Следовательно, поставляя (19.24) и (19.25) в (19.15) получим
устанавливаем, что произвольная функция от времени λ'(t)= 0, а
(19.26)
с точностью до постоянной.
Постоянная, входящая в (19.26), определяется некоторыми начальными условиями. Учитывая, что f1(x-at) = V соотношение (19.26) можно переписать в виде
(19.27)
где
—
избыточное давление, возникающее при
прохождении
плоской волны, имеющей амплитуду V-V0
и начальные параметры движущегося газа
р0
и
V0.
Из соотношений (19.20) и (19.21) следуют два очень важных вывода:
плоские упругие волны малой амплитуды распространяются по сплошной среде с постоянной скоростью;
форма плоских упругих волн малой амплитуды по мере их распространения в сплошной среде не изменяется.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть в воздухе при а = 330 м/с и ρ = 1,26 кг/м3 распространяется упругая волна V -V0 = ΔV = 1 м/с. В этой волне амплитуда давления составляет Δp = 1,26·330·1 = 4,05·102 Па.