Часть 2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Лекция 11. Уравнения в частных производных первого порядка

11.1. Линейные и квазилинейные уравнения

Рассмотрим уравнение вида

, (11.1)

в котором х₁, х₂, …, х_n - независимые переменные функции u; - частные производные функции u по переменным х₁, х₂, …, х_n .

Уравнение (11.1) называется уравнением в частных производных 1-го порядка. При этом, если уравнение (11.1) имеет вид

,(11.2)

то оно будет называться линейным уравнением, а если уравнение (11.1) линейно только относительно частных производных и имеет вид

,(11.3)

то оно будет называться квазилинейным уравнением. Уравнения (11.2) и (11.3) также называются «n»-мерными неоднородными уравнениями, если функции в этих уравнениях будут равны нулю, то тогда они будут называться однородными уравнениями. Таким образом, «мерность» уравнения определяется количеством независимых переменных х₁, х₂, …, х_n.

Рассмотрим 2-х мерное квазилинейное однородное уравнение

, (11.4)

в котором для всех х и у выполняется неравенство

. (11.5)

Пусть , тогда уравнение (11.4) принимает вид

, (11.6)

Тогда по условию (11.5) коэффициент , в силу того, что , не может быть равен нулю, следовательно, может выполнятся только

или (11.7)

В уравнениях (11.7) переменная у присутствует лишь в качестве параметра. Зафиксируем ее значение, например, у = у₁, тогда функция u₁(x) = u(x,y₁) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Далее продолжим, зафиксируем у = у₂, тогда функция u₂(x) = u(x,y₂) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Продолжая далее, получим для у = у_n,

.

Константы С₁, С₂, …, С_n между собой никак не связаны. Мы видим, что они связаны лишь с переменной у и, если охватить все возможные значения константы, то решение уравнения (7) необходимо записать в виде

. (8)

Если предположить, что , тогда уравнение (4) принимает вид

,

и по условию (5) коэффициент , в силу того, что , не может быть равен нулю, следовательно, может выполнятся только

или (9)

Далее поступая точно также, как мы поступали выше, только фиксируя значения х, получим

х = х₁, тогда функция u₁(у) = u(у,х₁) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Далее продолжим, зафиксируем х = х₂, тогда функция u₂(х) = u(у,х₂) и уравнением (7) принимает вид

.

Решением этого уравнения будет функция

.

Продолжая далее, получим для х = х_n,

.

Константы С₁, С₂, …, С_n между собой никак не связаны. Мы видим, что они связаны лишь с переменной х и, если охватить все возможные значения константы, то решение уравнения (7) необходимо записать в виде

. (10)

11.2. Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики

Рассмотрим 2-х мерное квазилинейное однородное уравнение, котором коэффициенты при производных являются функциям х и у

. (11)

Введем новые переменные

и . (12)

и новую функцию

(13)

Продифференцировав функцию (13) по х и у, получим

и (14)

Подставив (14) в (11), получим

Предположим, что коэффициент , тогда получим, что и решение этого уравнения по алгоритму, рассмотренному ранее при решении уравнения (4) принимает вид

, (15)

но вид переменной ξ нам неизвестен и как, же ее найти? Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(16)

Для любого решения x(t), y(t) этой системы функция

F[x(t), y(t)] = const,

Называется общим интегралом этой системы (16) и, если F = const, то производная от нее равна нулю или раскрывая эту производную, получим

, (17)

Исходя из того, что в системе (16) - , то уравнение (17) можно записать в виде

(18)

Анализируя уравнение (18) мы видим, что оно совпадает с исходным уравнением (11), следовательно, решениями уравнения (11) являются первые интегралы системы (16). Записав симметричную форму системы (16)

, (19)

Эти уравнения называются уравнениями характеристик. Найдем интегралы этой системы. Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл уравнения (11) можно представить в виде

, (20)

а общее решение будет выглядеть как

. (21)

Интегралы С₁ и С₂ уравнения (19) называются характеристиками.

Пример 11.1. Найти общий интеграл и общее решение уравнения

▲ Запишем для этого уравнения систему (16)

Далее запишем симметричную форму этой системы

.

Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде

,

а общее решение будет выглядеть как

.

Аналогичным образом решается уравнение

и его решение имеет вид

.▲

Неоднородные уравнения решаются аналогичным образом.

Пример 11.2. Найти общий интеграл и общее решение уравнения .

▲ Запишем для него систему (16)

Далее запишем симметричную форму этой системы

.

Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно представить в виде

,

а общее решение будет выглядеть как

. ▲