Варианты машины Тьюринга

Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга.

Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте

В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.

Рассмотрим доказательство, приведённое Ю. Г. Карповым в книге «Теория автоматов». Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте:

Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре МТ:

Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:

Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации. Очевидно, что слева от ограничивающих маркеров «*» лента в эквивалентной машине Тьюринга не используется.

49) Машины с неограниченными регистрами (МНР)

Вы­бран­ный на­ми ги­по­те­ти­че­с­кий ком­пь­ю­тер на­зы­ва­ет­ся ма­ши­ной с не­огра­ни­чен­ны­ми ре­ги­стра­ми (МНР) [Кат­ленд,1983,16-29]; он яв­ля­ет­ся лег­ким ви­до­из­ме­не­ни­ем ма­шин, впер­вые рас­смо­трен­ных Дж.Шепердсоном и Х.Стерджисом (1963) и по­лу­чив­ших на­зва­ние РАМ (рав­но­до­ступ­ная ад­рес­ная ма­ши­на) и РАСП (рав­но­до­ступ­ная ад­рес­ная ма­ши­на с хра­ни­мой про­грам­мой). Эти мо­де­ли в бо­ль­шей сте­пе­ни, чем ма­ши­на Тью­рин­га от­ра­жа­ют струк­ту­ру сов­ре­мен­ных вы­чис­ли­те­ль­ных устройств.

МНР со­дер­жит бес­ко­неч­ное чис­ло ре­ги­стров, обоз­на­ча­емых че­рез R₁,R₂,R₃,..., каж­дый из ко­то­рых в лю­бой мо­мент вре­ме­ни со­дер­жит не­ко­то­рое на­ту­ра­ль­ное чис­ло, при­чём чис­ло, со­дер­жа­ще­еся в R_n, бу­дем обоз­на­чать че­рез r_n. Это мож­но изоб­ра­зить сле­ду­ющим об­ра­зом:

МНР мо­жет из­ме­нять со­дер­жи­мое ре­ги­стров с по­мо­щью не­ко­то­рой ко­ман­ды. Каж­дая ко­ман­да мо­жет быть од­но­го из сле­ду­ющих че­ты­рех ви­дов: ко­ман­да об­ну­ле­ния, ко­ман­да при­бав­ле­ния еди­ни­цы, ко­ман­да пе­ре­ад­ре­са­ции и ко­ман­да усло­вно­го пе­ре­хо­да (см.таблицу 1).

 

Таблица 1. Команды МНР и их операционная семантика

Ариф­ме­ти­че­с­ки­ми ко­ман­да­ми на­зо­вём ко­ман­ды об­ну­ле­ния, при­бав­ле­ния еди­ни­цы и пе­ре­ад­ре­са­ции, при­чём ко­ман­ды Z(n) и S(n) со­от­ве­т­ст­ву­ют про­стей­шим опе­ра­ци­ям над на­ту­ра­ль­ны­ми чис­ла­ми в фор­ма­ль­ной ариф­ме­ти­ке.

Про­грам­ма МНР - это ко­неч­ная по­сле­до­ва­те­ль­ность ко­манд. На­ча­ль­ной кон­фи­гу­ра­ци­ей на­зы­ва­ет­ся по­сле­до­ва­те­ль­ность a₁,a₂,...

на­ту­ра­ль­ных чи­сел, со­дер­жа­щи­х­ся в ре­ги­страх R₁,R₂,....

Что­бы МНР при­сту­пи­ла к вы­чис­ле­ни­ям (ра­бо­те), она до­лжна быть снаб­же­на про­грам­мой P и на­ча­ль­ной кон­фи­гу­ра­ци­ей.

Пусть P«(I₁,I₂,...I_s), где I₁,I₂,...I_s - по­сле­до­ва­те­ль­ность ко­манд. Вна­ча­ле МНР вы­пол­ня­ет ко­ман­ду I₁.

Опре­де­лим ин­ду­к­тив­но по­ня­тие "сле­ду­ющая ко­ман­да в вы­чис­ле­нии".

Определение.

(1) I₁ - сле­ду­ющая ко­ман­да в вы­чис­ле­нии.

(2) Ес­ли I_k (k=1,2,...,s-1) не яв­ля­ет­ся ко­ман­дой усло­вно­го

пе­ре­хо­да, то ко­ман­да I_k+1 яв­ля­ет­ся сле­ду­ющей ко­ман­дой в вы­чис­ле­нии.

(3) Ес­ли I_k (k=1,2,...,s-1) яв­ля­ет­ся ко­ман­дой J(m,n,q), а r_m и r_n - те­ку­щее со­дер­жи­мое ре­ги­стров R_m и R_n со­от­ве­т­ст­вен­но, то сле­ду­ющей ко­ман­дой в вы­чис­ле­нии яв­ля­ет­ся ко­ман­да I_q, q=1,2,...,s, ес­ли r_m=r_n, и ко­ман­да I_k+1 - в про­тив­ном слу­чае.

(4) Ес­ли I_s яв­ля­ет­ся ко­ман­дой J(m,n,q), а r_m и r_n - те­ку­щее со­дер­жи­мое ре­ги­стров R_m и R_n со­от­ве­т­ст­вен­но, то сле­ду­ющей ко­ман­дой в вы­чис­ле­нии яв­ля­ет­ся ко­ман­да I_q, ес­ли r_m=r_n и q£s.

(5) Ни­ка­ких дру­гих сле­ду­ющих ко­манд в вы­чис­ле­нии нет.

Определение.

Бу­дем го­во­рить, что сле­ду­ющая ко­ман­да от­сут­ст­ву­ет, ес­ли:

(1) I_s яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­с­кой ко­ман­дой;

(2) I_s яв­ля­ет­ся ко­ман­дой J(m,n,q), при­чём r_m=r_n и q>s;

(3) I_s яв­ля­ет­ся ко­ман­дой J(m,n,q), при­чём r_m¹r_n. В этом слу­чае го­во­рят, что вы­чис­ле­ние оста­но­ви­лось по­сле вы­пол­не­ния ко­ман­ды I_s, а за­клю­чи­те­ль­ной кон­фи­гу­ра­ци­ей бу­дем на­зы­вать по­сле­до­ва­те­ль­ность r₁,r₂,r₃,... со­дер­жи­мых ре­ги­стров на этом ша­ге.

Определение.

Бу­дем го­во­рить, что вы­чис­ле­ние оста­нав­ли­ва­ет­ся, ес­ли сле­ду­ющая ко­ман­да от­сут­ст­ву­ет.

МНР ра­бо­та­ет, по­ка вы­чис­ле­ние не оста­но­ви­т­ся.

Предложение.

Для каж­дой ко­ман­ды пе­ре­ад­ре­са­ции T(m,n) су­ще­ст­ву­ет про­грам­ма, не со­дер­жа­щая ко­манд пе­ре­ад­ре­са­ции, ко­то­рая на вся­кой кон­фи­гу­ра­ции МНР да­ет тот же ре­зу­ль­тат, что и T(m,n).

До­ка­за­те­ль­ст­во. Упраж­няй­тесь!

Та­ким об­ра­зом, ко­ман­да пе­ре­ад­ре­са­ции в опре­де­ле­нии МНР яв­ля­ет­ся из­бы­то­чной; тем не ме­нее, пред­став­ля­ет­ся ес­те­ст­вен­ным и удоб­ным иметь та­кие ко­ман­ды, т.к. они об­лег­ча­ют по­стро­ение про­грамм.

Замечание.

Срав­ни­те МНР с ма­ши­ной с ре­ги­стра­ми об­ще­го на­зна­че­ния (см.[Уокерли,1984,с.184-192]

Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен

28