Устройство машины Тьюринга

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара «ленточный символ — состояние», для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной.

46) Функция f(x1, …, xn) называется вычислимой по Тьюрингу, если выполнены следующие два условия:

1) Если значение f(x1, …, xn) определено, то машина, начиная с конфигурации

останавливается и при этом имеет конфигурацию

2) Если значение f(x1, …, xn) не определено, то машина работает бесконечно

Замечание

Под конфигурацией

понимается слово

которое машина обозревает в начальном стандартном положении

тезис Тьюринга Любая интуитивно-вычислимая функция может быть вычислена некоторой машиной Тьюринга

Замечание

Как и тезис Черча, тезис Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть

Он выдвинут исходя из опыта и, именно, опыт подтверждает его состоятельность

Доказана равносильность тезиса Тьюринга и тезиса Черча

47) В теории вычислимости алгоритмически неразрешимой задачей называется задача, имеющая ответ да или нет для каждого объекта из некоторого множества входных данных, для которой (принципиально) не существует алгоритма, который бы, получив любой возможный в качестве входных данных объект, останавливался и давал правильный ответ после конечного числа шагов.

Проблемы, касающиеся абстрактных машин

• Проблема остановки

• Проблема самоприменимости

• Busy beaver (англ.)

• Любая проблема, сформулированная в теореме Райса

• Определить, достигнет ли когда-нибудь заданная исходная конфигурация в игре «Жизнь» заданной конечной конфигурации

• ] Проблемы, касающиеся матриц

• Проблема умирающей матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу. Проблема неразрешима даже для n=3 (разрешимость для n=2 является открытым вопросом^[2])