Статические моменты.
На основании теоремы Вариньена (о моменте равнодействую-
щей) можно записать
где
и
- координаты центра тяжести площади.
Отсюда мы имеем
прием для отыскания
центра тяжести площади:
Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называют центральной (естественно, что она проходит через центр
тяжести фигуры).
Если мы имеем дело с составной фигурой, т.е. фигурой состоящей из частей, для каждой из которой мы знаем площадь и координаты центра тяжести, то статические моменты можно найти:
где
- соответственно площадь и координаты
центра тяжести фигуры составляющей.
30)
Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей
Пусть
- центральные оси для данной фигуры, а
и
- произвольные оси параллельные осям
и
.
Найдем моменты инерции для осей и , через, как выражаются, “старые” моменты инерции относительно осей и .
С
вязь
между “новыми” и “старыми” координатами
произвольной элементарной площадки
будут выглядеть
где
и
- координаты старого центра в новых
осях. Подставляя эти выражения в формулы
для моментов инерции, и учитывая, что
оси
- центральные получаем:
Проделывая аналогичные выкладки и для других моментов, получаем следующий закон преобразования моментов:
;
;
Первыми двум выражениям можно придать словесную формулировку: момент инерции относительно какой-либо оси равняется моменту относительно оси центральной параллельной данной плюс площадь на квадрат расстояния между осями.
31)
Моменты инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг)
а
)
Момент инерции для прямоугольника
относительно центральной оси:
б) Треугольник
Момент инерции относительно оси
:
Используя формулу преобразования
момента инерции при параллельном
переносе осей, получаем выражение для
центрального момента инерции:
в
)
Круг
Из соображений симметрии заключаем,
что все центральные оси обладают равными
моментами инерции. Поэтому
Найдем вначале полярный момент инерции:
или через диаметр:
г
)
Кольцевое сечение.
обозначив , имеем
32)
Преобразование моментов инерции при повороте осей
Пусть х, у произвольные площади сечения площадью F, а оси , получены из них поворотом на угол . Найдем моменты
инерции относительно осей , через “старые” моменты инерции
относительно осей , через “старые” моменты инерции относительно осей х, у.
Связь между координатами известна из курса аналитической геометрии
;
.
Вычислим момент инерции
Входящие в это выражение, интегралы
представляют собой моменты инерции
относительно осей
Учитывая известные тригонометрические тождества:
переходим к функциям угла
.
Если проделать эту процедуру и для
то получим следующие формулы преобразования
моментов инерции при повороте
координатных осей:
Складываем два первых уравнения, получаем
т.е. сумма осевых моментов инерции инвариантна по отношению к повороту осей (на самом деле, она ведь равна полярному моменту инерции, а последний зависит лишь от полюса, а не от положения осей ).
33)