- •1.2. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классификация случайных событий
- •1.4. Операции над событиями
- •1.5. Классическое определение вероятности
- •1.6. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса (гипотез)
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формула Пуассона (редких событий)
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции Гаусса.
- •2.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции Лапласа
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа
- •Тема 3. Дискретная случайная величина
- •3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2. Арифметические операции над случайными величинами
- •3.3. Параметры распределения дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •3.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 4. Непрерывная случайная величина
- •4.1. Плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности распределения
- •Парадокс нулевой вероятности
- •Функция распределения непрерывной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •Нормальный закон распределения
- •4.3. Центральная предельная теорема и теоремы Муавра-Лапласа как следствия из нее
- •Тема 5. Двумерные случайные величины
- •5.1. Совместные распределения и их параметры
- •Коэффициент корреляции и его свойства
- •Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Чебышёва
- •6.2. Теоремы Бернулли и Чебышёва
- •Математическая статистика Тема 7. Выборочный метод
- •7.1. Оценка неизвестного параметра. Свойства оценок
- •7.2. Первичная обработка результатов эксперимента. Характеристики вариационных рядов
- •7.3. Сплошное и выборочное наблюдения
- •7.4. Оценка генеральной средней
- •7.5 Оценка генеральной доли
3.2. Арифметические операции над случайными величинами
Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа справедливо равенство:
Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:
Y: |
|
0 |
1 |
. |
|
0,5 |
0,5 |
X: |
|
0 |
1 |
|
0,5 |
0,5 |
Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства и , т.е. случайная величина Х принимает значение 0
тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.
Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
: |
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
и – некоторое число.
Определение. Случайной величиной называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид :
: |
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Х : |
|
0 |
1 |
2 |
|
0,16 |
0,48 |
0,36 |
и , . Тогда закон распределения :
|
|
0 |
5 |
10 |
|
0,16 |
0,48 |
0,36 |
Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами . Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0,6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.
Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события и – независимы.
Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, и – несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.
Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина ( , ), которая принимает значение в некотором испытании, если значения и случайных величин Х и в этом испытании таковы, что ( ).
Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:
-
Х:
0
1
Y :
0
1
0,4
0,6
0,2
0,8
Составить закон распределения случайной величины .
Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:
-
0
1
0
0
1
1
–1
0
в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так тогда и только тогда, когда и или и . Поэтому
.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины и – независимы), получаем
Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:
Аналогично,
Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:
U : |
|
–1 |
0 |
1 |
|
0,32 |
0,56 |
0,12 |
Упражнение. Составить законы распределения случайных величин
Ответ.
-
Z:
0
1
2
V:
0
1
0,08
0,44
0,48
0,52
0,48
-
W:
0
1
R:
0
1
0,4
0,6
0,56
0,44
Заметим, что закон распределения случайной величины Z фактически найден в примере § 3.1 о двух стрелках. Действительно, исходные независимые случайные величины X иY данной задачи могут быть интерпретированы как числа попаданий в мишень первого и второго стрелка из § 3.1. Тогда – общее число попаданий, и закон распределения этой случайной величины и найден в упомянутом примере.