![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.2. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классификация случайных событий
- •1.4. Операции над событиями
- •1.5. Классическое определение вероятности
- •1.6. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса (гипотез)
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формула Пуассона (редких событий)
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции Гаусса.
- •2.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции Лапласа
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа
- •Тема 3. Дискретная случайная величина
- •3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2. Арифметические операции над случайными величинами
- •3.3. Параметры распределения дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •3.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 4. Непрерывная случайная величина
- •4.1. Плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности распределения
- •Парадокс нулевой вероятности
- •Функция распределения непрерывной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •Нормальный закон распределения
- •4.3. Центральная предельная теорема и теоремы Муавра-Лапласа как следствия из нее
- •Тема 5. Двумерные случайные величины
- •5.1. Совместные распределения и их параметры
- •Коэффициент корреляции и его свойства
- •Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Чебышёва
- •6.2. Теоремы Бернулли и Чебышёва
- •Математическая статистика Тема 7. Выборочный метод
- •7.1. Оценка неизвестного параметра. Свойства оценок
- •7.2. Первичная обработка результатов эксперимента. Характеристики вариационных рядов
- •7.3. Сплошное и выборочное наблюдения
- •7.4. Оценка генеральной средней
- •7.5 Оценка генеральной доли
Свойства функции Лапласа
Функция Лапласа нечетна:
Функция Лапласа – монотонно возрастающая;
т.е. прямые
и
являются горизонтальными асимптотами (правой и левой соответственно) графика
; на практике полагаем
при
График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.
Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа
Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие 1. Вероятность того, что
число
наступлений
события А в n
повторных независимых испытаниях будет
отличаться от величины
не
более чем на
(по
абсолютной величине), вычисляется по
формуле
Следствие 2. Вероятность того, что
доля
наступлений
события А в n
повторных независимых испытаниях будет
отличаться от вероятности p
наступления этого события в одном
испытании не более чем на
(по абсолютной величине), вычисляется
по формуле
Пример. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.
Решение. Искомые границы для числа
проб руды с промышленным содержанием
металла (из данных 1000 проб) определяются
величинами
и
(см. интегральную теорему Муавра-Лапласа).
Будем предполагать, что искомые границы
симметричны относительно величины
,
где
и
.
Тогда
,
для некоторого
,
и, тем самым, единственной определяющей
неизвестной данной задачи становится
величина
.
Из следствия 1 и условия задачи следует,
что
По таблице значений функции Лапласа
найдем такое
,
что
Тогда
и
.
Окончательно получаем искомые границы:
т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды
с промышленным содержанием металла (из
данных 1000 проб) попадет в интервал (116;
184).
Пример. В лесхозе приживается в среднем 80 саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.
Решение.
– вероятность прижиться для каждого
из саженцев,
.
Пусть
–
необходимое число саженцев (искомая
величина данной задачи) и
–
число прижившихся из них, тогда
–
доля прижившихся саженцев. По условию,
Данные границы для доли
симметричны относительно величины
,
поэтому неравенство
равносильно неравенству
Следовательно, вероятность 0,9981 – это
та самая вероятность, которая вычисляется
по следствию 2 из интегральной теоремы
Муавра-Лапласа при
,
:
По таблице функции Лапласа найдем такое
значение
,
что
Это значение:
Тогда
и
Заметим, что значение округлено до целых в большую сторону, чтобы обеспечить, как говорят, “запас по вероятности”. Кроме того, видно, что полученное значение достаточно велико (более 100), поэтому применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа для решения данной задачи было возможно.
Тема 3. Дискретная случайная величина
3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
Определение. Случайной величиной называется переменная, которая в результате испытания принимает то или иное числовое значение.
Пример. Число попаданий в мишень при выстрелах – случайная величина.
Пример. Рост наудачу взятого человека – случайная величина.
Определение. Случайная величина называется дискретной, если число ее возможных значений конечно или счетно.
(Напомним, что множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.)
В этом смысле, число попаданий в мишень – пример дискретной случайной величины. Рост человека – непрерывная случайная величина (такие случайные величины будут рассмотрены ниже).
Для обозначения случайных величин будем
использовать заглавные буквы латинского
алфавита (возможно с индексами), например,
и
т.п.
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется такая таблица, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины (без повторений) с соответствующими им вероятностями.
В общем виде закон распределения для
случайной величины, например,
:
: |
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
где
Из определения закона распределения
следует, что события
…
,
образуют полную систему, поэтому (см.
следствие из теоремы сложения вероятностей
для несовместных событий в §1.6):
т.е.
Данное равенство называется основным свойством закона распределения.
Пример. Два стрелка одновременно
выстреливают в мишень. Вероятность
попадания для первого равна 0,6, для
второго – 0,8. Составить закон распределения
случайной величины
–
общего числа попаданий в мишень.
Решение. Возможные значения данной
случайной величины: 0, 1, 2. Так же как в
примере из §1.6, через
и
обозначим события, состоящие в попадании
в мишень первого и второго стрелков
(соответственно). Тогда аналогично
упомянутому примеру получаем
Окончательно, закон распределения случайной величины имеет вид:
: |
|
|
|
2 |
|
|
|
0,44 |
0,48 |
1 |
Упражнение. В коробке 3 белых шара и 2 красных. Составить закон распределения случайной величины – числа белых шаров среди 2-х извлеченных шаров.
Ответ.
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0,1 |
0,6 |
0,3 |
1 |
Пример. В коробке – 3 белых шара и 2 красных. Шары извлекаются последовательно до появления белого шара. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных шаров.
Решение. Возможные значения данной
случайной величины: 1, 2, 3. Событие
(из коробки будет извлечен один
единственный шар) наступает тогда и
только тогда, когда первый из шаров
оказывается белым, т.к. появление именно
белого шара является сигналом к
прекращению последующих извлечений
(см. условие). Поэтому
где событие
– первый из извлеченных шаров – белый.
Событие
(из коробки будет извлечено ровно 2 шара)
наступает тогда и только тогда, когда
первый из извлеченных шаров оказывается
красным, а второй – белым. Поэтому
где событие
– первый из извлеченных шаров – красный,
– второй шар – белый. Наконец событие
(из коробки будет извлечено 3 шара)
наступает тогда и только тогда, когда
первый шар – красный, второй – красный
и третий – белый. Поэтому
Окончательно искомый закон распределения имеет вид:
Х : |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
0,6 |
0,3 |
0,1 |
1 |
Упражнение. Имея 3 патрона, стрелок стреляет по мишени до первого попадания (или до израсходования патронов). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных выстрелов.
Ответ.
Х : |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
0,8 |
0,16 |
0,04 |
1 |
Пример. Стрелок стреляет в мишень 3 раза. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень.
Решение. Возможные значения для
числа попаданий: 0, 1, 2, 3. Вероятности
того, что случайная величина Х примет
эти значения вычисляются по формуле
Бернулли при
Окончательно искомый закон распределения имеет вид:
Х : |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
1 |
Полученный закон распределения является частным случаем так называемого биномиального закона распределения (при ).
Определение. Случайная величина
Х имеет биномиальный закон
распределения с параметрами
и
,
если ее закон распределения имеет вид
:
-
Х :
0
1
2
…
,
…
где вероятности
вычисляются по формуле Бернулли:
– положительное целое число,
В пределе при
и
биномиальное распределение переходит
в так называемое распределение Пуассона.
Определение. Говорят, что случайная
величина Х имеет распределение
Пуассона с параметром
,
если ее закон распределения имеет вид:
-
Х :
0
1
2
…
,
…
где
,
–
положительное число.
Убедимся в том, что для распределения
Пуассона выполняется основное свойство
закона распределения:
.
Действительно, имеем
(см. курс математического анализа,
разложение функции
в
ряд Маклорена).
Домашнее задание. 3.25, 3.31, 3.36, 3.40, 3.45.