Практическая работа № 6 оптимизация структуры системы

Цель работы

Исследование и оптимизация структуры системы вероятностным методом.

Выбор структуры системы производится на одном из начальных этапов проектирования и во многом определяет ее будущие характеристики. При этом трудно найти критерий для выбора оптимальной структуры системы.

Таким критерием может служить вероятность того, что значения показателей системы будут удовлетворять техническое задание (ТЗ) с учетом заранее выбранной структуры. Этот критерий минимизирует риск невыполнения технического задания.

Для каждого k = 1,…, K можно определить функцию p_k(z^k), позволяющую для любого заданного показателя z^k вычислить вероятность реализации k-гo элемента структуры со значениями показателя не хуже приведенного в z^k. Тогда задача отыскания оптимальной структуры будет заключаться в нахождении K векторов z^k, которые дают максимум величины

. (6.1)

Эта оптимизационная задача относится к классу нелинейных и содержит достаточно большое число различных по своему характеру ограничений. Ее решение можно получить, используя методы нелинейного программирования. Определив значения Р всех структур, топология которых задана альтернативным графом, для построения системы следует выбрать структуру, которой соответствует наибольшее значение вероятности Р_max.

Вероятность p_k(z^k) реализации k-го элемента структуры с параметрами, не уступающими z^k, характеризует неопределенность, связанную с невозможностью точно предсказать на этапе выбора структуры, какими параметрами будет обладать данный элемент после завершения проектирования системы. Эту неопределенность трудно раскрыть на основе объективного статистического анализа. Но эту величину можно трактовать как меру субъективной уверенности в том, что существует возможность построения данного элемента системы. В этом случае p_k(z^k) называют субъективной вероятностью реализации k-го элемента структуры.

Пример

По заданному варианту структурной схемы радиоприемника (рис. 6.1):

1) рассмотреть варианты реализации блоков радиоприемника, определить вероятности их реализации;

2) построить граф вариантов структуры радиоприемника;

в) определить оптимальный вариант структуры радиоприемника и вероятность его реализации;

3) проверить полученное решение на соответствие ограничениям, в случае несоответствия провести корректировку выбранного варианта.

Рис. 6.1. Структурная схема радиоприемника

Заданная структура радиоприемника согласно предварительной проработке ТЗ содержит блоки: z¹ – входное устройство (антенна), z² – селектор высокочастотного сигнала, z³ – усилитель высокочастотного сигнала, z⁴ – детектор сигнала, z⁵ – усилитель низкочастотного сигнала, z⁶ – регулятор тембра, z⁷ – блок автоподстройки частоты, z⁸ – преобразователь электрического сигнала в звуковой сигнал. При этом z¹ и z⁸ являются покупными изделиями, не подлежащими оптимизации.

Ограничениями являются: 1) стоимость радиоприемника С ≤ 1200 рублей; 2) вероятность реализации структуры радиоприемника > 0,5.

На рис. 6.2 приведены графики p_k(z^k) для фиксированных значений стоимости блоков , k = 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Рис. 6.2. Зависимости p_k(z^k), k = 2, 3, 4, 5, 6, 7

Для каждого блока, входящего в структуру радиоприемника, заданы параметры , где – коэффициент усиления (чувствительность), – избирательность, – нелинейные искажения, – стоимость, n – номер параметра, k – номер блока. Каждый блок может быть выполнен в нескольких вариантах реализации.

Заданные параметры представлены в вариантах реализации блоков , где m – номер варианта:

z²(1) = (40, 60, 50, 30); z²(2) = (40, 65, 55, 60); z²(3) = (40, 70, 60, 90);

z³(1) = (200, 60, 50, 40); z³(2) = (300, 60, 50, 90); z³(3) = (400, 60, 50, 120);

z³(4) = (560, 65, 55, 160);

z⁴(1) = (2, 60, 50, 120); z⁴(2) = (2, 60, 55, 160); z⁴(3) = (2, 60, 60, 180);

z⁵(1) = (400, 60, 50, 150); z⁵(2) = (600, 60, 50, 170); z⁵(3) = (800, 60, 50, 200);

z⁶(1) = (1, 60, 50, 240); z⁶(2) = (1, 60, 55, 300); z⁶(3) = (1, 60, 60, 320);

z⁷(1) = (1, 60, 50, 230); z⁷(2) = (1, 65, 55, 280); z⁷(3) = (1, 70, 55, 330).

Выполнение задания

Связь блоков радиоприемника между собой определяет граф, в котором вершины 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соединены последовательно (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Граф радиоприемника

Для каждого блока характерна своя приоритетность параметров. Так, для усилителя сигнала наиболее важен коэффициент усиления, для селектора сигнала – избирательность и т.д.

Для определения вероятностей вариантов реализации блока и выбора наиболее предпочтительного из вариантов необходимо на рис. 6.2 установить соотношение между значениями приоритетных параметров каждого блока по вариантам реализации, стоимостями этих вариантов и вероятностями реализации каждого варианта (рис. 6.4).

Так, например, для второго блока – селектора высокочастотного сигнала наиболее приоритетным является избирательность и для трех заданных вариантов его реализации (рис. 6.4а): z²(1) = (40, 60, 50, 30); z²(2) = = (40, 65, 55, 60); z²(3) = (40, 70, 60, 90) рассматриваем соотношение избирательность – стоимость – вероятность реализации. При этом для первого варианта реализации с избирательностью 60 дБ и стоимостью 30 рублей не существует варианта реализации; для второго варианта – с избирательностью 65 дБ и стоимостью 60 рублей вероятность реализации составляет 0,72; для третьего варианта – с избирательностью 70 дБ и стоимостью 90 рублей вероятность реализации 0,86.

Вероятности вариантов реализации блоков:

p₂(1) = 0; p₂(2) = 0,72; p₂(3) = 0,86;

p₃(1) = 0,7; p₃(2) = 0,89; p₃(3) = 0,94; p₃(4) = 0,96;

p₄(1) = 0; p₄(2) = 0,91; p₄(3) = 0,97;

p₅(1) = 0,78; p₅(2) = 0,89; p₅(3) = 0,94;

p₆(1) = 0; p₆(2) = 0,83; p₆(3) = 0,89;

p₇(1) = 0; p₇(2) = 0,83; p₇(3) = 0,89.

Заданные ограничения на параметры приемника определяют область, в которой могут находиться векторы z², z³, z⁴, z⁵ z⁶ и z⁷.

Оптимизируемой является функция

. (6.2)

В функции оптимизации обязательно присутствует стоимость .

Рис. 6.4. Графики вероятностей реализации блоков

Все варианты структуры радиоприёмника изобразим в виде графа (рис. 6.5), на ребрах которого проставлены найденные вероятности соответствующих реализаций (переходов). Лучшей по критерию (6.1) структуре будет соответствовать маршрут, для которого произведение вероятностей всех переходов максимально.

Данный граф обладает особенностью: из всех вершин, соответст­вующих конкретным реализациям данного блока, выходит одно и то же число ребер, над которыми проставлены одни и те же вероятности. Поэтому для отыскания оптимального маршрута достаточно из каж­ дой вершины двигаться по ребру, которому приписано максимальное значение вероятности. Этим маршрутом на рис. 6.5 будет последовательность вершин z¹(1) → z²(3) → z³(4) → → z⁴(3) → z⁵(3) → z⁶(3) → z⁷(3) → z⁸(1), для которой вероятность реализации структуры радиоприемника Р = 0,86·0,96·0,97·0,95·0,89·0,89 = 0,603. Но данный маршрут не удовлетворяет условиям ограничения С = 90 + 160 + 180 + 200 + 320 + 330 = = 1280 рублей > 1200 рублей. Необходимо найти маршрут, удовлетворяющий обоим ограничениям. Такой маршрут представлен на рис. 6.5: z¹(1) → z²(3) → z³(4) → z⁴(3) → z⁵(2) → z⁶(3) → z⁷(2) → z⁸(1). При этом Р = = 1,0·0,86·0,96·0,97·0,89·0,89·0,83 = 0,527 > 0,5, а стоимость С = 90 + 160 + + 180 + 170 + 320 + 280 = 1200 рублей, что соответствует оптимальной структуре.

Рис. 6.5. Сеть анализируемых вариантов радиоприемника

Контрольные вопросы

1. Какие методы оптимизации структур вы знаете?

2. На каком этапе жизненного цикла продукции осуществляют оптимизацию структуры?

3. Назовите критерий оптимизации структуры.

4. Напишите функционал оптимизации структуры.

5. Стоимость является критерием оптимизации, ограничением или оптимизируемым параметром?

6. Какой величиной должен быть критерий оптимизации: максимальной, экстремальной или минимальной?

7. По каким параметрам можно определить оптимальность блока?

8. Можно ли определять оптимальность блока по нескольким параметрам?