Практическая работа № 4 определение характеристик структур

Цель работы

Изучение характеристик структур, позволяющих проводить сравнение структур между собой.

Диаметр структуры. Пусть d_ij – длина минимального пути между висячей вершиной i и тупиковой вершиной j, равная числу ребер, составляющих этот путь. Тогда, если I и J – множества висячих и тупиковых вершин графа соответственно, то диаметр структуры

(4.1)

характеризует максимальное число ребер, разделяющих висячие и тупиковые вершины графа. По значению D можно косвенно судить о ряде предельных параметров системы, в частности о ее надежности, длительности задержек сообщений, идущих от висячих вершин к тупиковым, инерционности.

Определение значений d_ij сводится к задаче поиска кратчайшего пути на графе для каждой пары (i, j) такой, что i Î I, j Î J. Эта задача может быть решена с помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. Для каждой вершины k, в которой необходимо определить текущее значение диаметра d(k), должно быть известно предыдущее значение диаметра d(l) смежной вершины l, из которой в вершину k направлено ребро lk, при этом d(1) = 0 и d(k) = ¥ для всех k = 2, п.

Шаг 2. Просматривают все ребра lk, выходящие из вершины l. Каждой вершине k ребра lk ставится в соответствие величина

, (4.2)

где «: =» означает «присвоить значение».

Шаг 3. Если при прохождении пути d_ij другим маршрутом повторно приходим в k-вершину, то значение d(k) будет равно ранее определенному.

При рассмотрении другого пути необходимо вернуться к шагу 1.

Связность. Для оценки связности структур используют показатель α, характеризующий относительную разность числа связей С, присутствующих в данной структуре, и числа связей С_min, минимально необходимых для связности структуры. Показатель α является мерой избыточности структуры по связям.

Если граф содержит п вершин, то С_min = n – 1 независимо от того, является граф ориентированным или нет и показатель связности

. (4.3)

Чем больше α, тем структура будет связанней.

Степень централизации. Для определения неравномерности загрузки элементов структуры используют индекс центральности

, (4.4)

где V(i) = v_i + vⁱ – суммарное число входящих и выходящих ребер i-вершины, а V(k) = max V(i).

Пример

По заданной диаграмме графа (рис. 4.1):

1) определить изолированные, висячие и тупиковые вершины;

2) найти диаметр графа;

3) определить показатель связности графа;

4) определить индекс центральности графа.

Рис. 4.1. Граф

Выполнение задания

1. Изолированные вершины отсутствуют; висячая вершина – 5; тупиковые вершины – 1, 6.

2. Для графа на рис. 4.1 необходимо определить диаметры d_5-1 и d_5-6 между висячей вершиной и тупиковыми вершинами. Тогда

D = max(d_5-1, d_5-6).

Рассмотрим путь d_5-1. Этот путь можно пройти только одним маршрутом d(5) → d(1), при этом d(5) = 0. В соответствии с (4.2)

d(1): = min{d(1), d(5) + 1} = min{¥, 0 + 1} = 1.

Таким образом, d_5-1 = 1.

Рассмотрим путь d_5-6. Этот путь можно пройти шестью маршрутами:

1) d(5) → d(4) → d(3) → d(6);

2) d(5) → d(4) → d(10) → d(3) → d(6);

3) d(5) → d(4) → d(10) → d(11) → d(2) → d(7) → d(3) → d(6);

4) d(5) → d(9) → d(8) → d(4) → d(3) → d(6);

5) d(5) → d(9) → d(8) → d(4) → d(10) → d(3) → d(6);

6) d(5) → d(9) → d(8) → d(4) → d(10) → d(4) → d(11) → d(2) → d(7) → d(3) → d(6).

Рассмотрим все маршруты данного пути:

1) d(5) = 0,

d(4): = min{d(4), d(5) + 1} = min{¥, 0 + 1} = 1,

d(3): = min{d(3), d(4) + 1} = min{¥, 1 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{¥, 2 + 1} = 3;

2) d(5) = 0,

d(4): = min{d(4), d(5) + 1} = min{1, 0 + 1} = 1,

d(10): = min{d(10), d(4) + 1} = min{¥, 1 + 1} = 2,

d(3): = min{d(3), d(10) + 1} = min{2, 2 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3;

3) d(5) = 0,

d(4): = min{d(4), d(5) + 1} = min{1, 0 + 1} = 1,

d(10): = min{d(10), d(4) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(11): = min{d(11), d(10) + 1} = min{¥, 2 + 1} = 3,

d(2): = min{d(2), d(11) + 1} = min{¥, 3 + 1} = 4,

d(7): = min{d(7), d(2) + 1} = min{¥, 4 + 1} = 5,

d(3): = min{d(3), d(7) + 1} = min{2, 5 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3;

4) d(5) = 0,

d(9): = min{d(9), d(5) + 1} = min{¥, 0 + 1} = 1,

d(8): = min{d(8), d(9) + 1} = min{¥, 1 + 1} = 2,

d(4): = min{d(4), d(8) + 1} = min{1, 2 + 1} = 1,

d(3): = min{d(3), d(4) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3;

5) d(5) = 0,

d(9): = min{d(9), d(5) + 1} = min{1, 0 + 1} = 1,

d(8): = min{d(8), d(9) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(4): = min{d(4), d(8) + 1} = min{1, 2 + 1} = 1,

d(10): = min{d(10), d(4) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(3): = min{d(3), d(10) + 1} = min{2, 2 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3;

6) d(5) = 0,

d(9): = min{d(9), d(5) + 1} = min{1, 0 + 1} = 1,

d(8): = min{d(8), d(9) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(4): = min{d(4), d(8) + 1} = min{1, 2 + 1} = 1,

d(10): = min{d(10), d(4) + 1} = min{2, 1 + 1} = 2,

d(11): = min{d(11), d(10) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3,

d(2): = min{d(2), d(11) + 1} = min{4, 3 + 1} = 4,

d(7): = min{d(7), d(2) + 1} = min{5, 4 + 1} = 5,

d(3): = min{d(3), d(7) + 1} = min{2, 5 + 1} = 2,

d(6): = min{d(6), d(3) + 1} = min{3, 2 + 1} = 3.

Таким образом, прохождение пути d_5-6 разными маршрутами дает один и тот же результат d_5-6 = 3. Отсюда D = max{1, 3} = 3.

3. Для графа на рис. 4.1 число вершин n = 11, число связей С = 13, минимально необходимое число связей для обеспечения связности графа С_min = 10. Воспользовавшись (4.3), определим показатель связности:

α = (13 – 10) /10 – 1 = 0,3.

4. Для графа на рис. 4.1

V(1) = V(6) = 1; V(2) = V(7) = V(8) = V(9) = V(11) = 2; V(5) = V(10) = 3;

V(3) = V(4) = 4, следовательно, V(k) = V(3) = V(4) = 4.

Индекс центральности (4.4)

,

β = 18/30 = 0,6, что соответствует структуре, в которой связи распределены неравномерно, но ясно выраженные центральные элементы отсутствуют.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение диаметра структуры.

2. Каким образом рассчитывается диаметр структуры?

3. О каких параметрах системы можно судить по значению диаметра структуры?

4. В каком случае можно повторно использовать расчетное значение текущего диаметра структуры?

5. Дайте определение связности структуры.

6. Каким образом можно рассчитать показатель связности структуры?

7. В какой области значений изменяется показатель связности наиболее простых структур? Приведите пример.

8. Дайте определение степени централизации структуры.

9. Каким образом можно рассчитать индекс центральности?