Практическая работа № 3 сложность структуры
Цель работы
Изучение метода определения сложности структур.
Понятие сложности имеет субъективный оттенок. Сложность структуры определяется сложностью анализа ее свойств. Если функционирование системы представить себе как процесс переработки входных воздействий в выходные, направленный от входных элементов системы к выходным, то изучение свойств этого процесса будет тем труднее, чем разнообразнее пути, ведущие от входов к выходам системы. Тогда сложность структуры
, (3.1)
где m1 и m2 – число висячих и тупиковых вершин, ρij – число различных путей, ведущих от i-й висячей вершины в j-ю тупиковую вершину.
Согласно (3.1), величина ρ численно равна усредненному числу путей, ведущих из висячих вершин графа к тупиковым вершинам. Значение ρ можно определить путем непосредственного анализа графов. Для сложных графов, содержащих большое число путей, такой подход неприемлем. Общий подход, позволяющий вычислить ρ для любого ориентированного графа, состоит в следующем.
Шаг 1. Исходный граф представляется в виде многоуровневого иерархического графа, не содержащего смежных вершин, расположенных на одном уровне иерархии.
Шаг 2. Полученный многоуровневый иерархический граф представляется совокупностью гиперграфов, для которых определяют матрицы инцидентности.
Шаг 3. Перемножая матрицы инцидентности гиперграфов получают матрицу W = || ρij || размерности m1 × m2, суммируя элементы которой получают значение ρ.
Пример
По заданной диаграмме графа (рис. 3.1):
1) определить изолированные, висячие и тупиковые вершины;
2) преобразовать граф в иерархический с помощью фиктивных вершин;
3) разбить многоуровневый иерархический граф на гиперграфы, описать гиперграфы с помощью матриц инцидентности;
4) перемножить матрицы инцидентности и определить сложность структуры.
Рис. 3.1. Граф
Выполнение задания
1. Изолированные вершины отсутствуют; висячие вершины – 6, 9, 11; тупиковые вершины – 1, 10.
2. При построении графа необходимо выполнять следующие правила:
а) выделяют область висячих вершин и область тупиковых вершин, в которых нельзя проводить построение иерархического графа (рис. 3.2);
б) построение графа начинают с самых длинных путей (рис. 3.3);
в) все ребра должны быть направлены от висячих вершин к тупиковым, смежные вершины не должны быть расположены на одном уровне иерархии, для этого в иерархический граф вводят фиктивные вершины, помечаемые штрихом (');
г) при сквозном прохождении пути от i-вершины к j-вершине через несколько уровней иерархии необходимо на каждом уровне устанавливать фиктивные i-вершины (i') (рис. 3.4);
д) петли и контуры исходного графа преобразуют с помощью фиктивных вершин таким образом, чтобы смежные вершины не располагались на одном уровне иерархии (рис. 3.5);
е) вершины с одним номером не могут находиться в разных местах иерархического графа и не быть связанными друг с другом.
Рис. 3.2. Выделение области построения иерархического графа
Рис. 3.3. Выделение пути, на основе которого строится иерархический граф
Рис. 3.4. Использование фиктивных вершин для построения иерархического графа
Так как в графе существует контур (обратная связь), а условием построения иерархического графа является обязательная направленность ребер от висячих вершин к тупиковым, то необходимо с помощью фиктивных вершин преобразовать контур, для чего ввести еще один дополнительный уровень иерархии в область построения иерархического графа (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Введение контура в иерархический граф
3. Построенный иерархический граф разбивают на гиперграфы (рис. 3.6). Гиперграфом называется множество Н = (A, В), где А – множество вершин, а В – множество ребер, в котором каждое ребро Bi B задают непосредственным перечислением вершин, связанных с ним. В иерархической структуре вершину более высокого уровня иерархии можно представить как ребро гиперграфа, инцидентное вершинам более низкого уровня иерархии. На этом основании каждый уровень иерархии можно описать с помощью матриц инцидентности. В нашем примере таких матриц будет восемь. Произведение матриц дает итоговую матрицу, по которой можно будет определить сложность структуры и количество путей из каждой висячей вершины в каждую тупиковую вершину.
Рис. 3.6. Разбивка иерархического графа по уровням иерархии
11'
6'
8
9'
11
1
0
0
0
WI
=
6
0
1
0
0
9
0
0
1
1
11''
6''
5
9''
11'
1
0
0
0
WII
=
6'
0
1
0
0
8
0
0
1
0
9'
0
0
0
1
11IV
3
4'
5''
9
IV
11'''
1
0
0
0
0
6'''
0
1
0
0
0
WIV
=
4
0
1
1
0
0
5'
0
0
0
1
0
9'''
0
0
0
0
1
11'''
6'''
4
5'
9'''
11''
1
0
0
0
0
WIII
=
6''
0
1
0
0
0
5
0
0
1
1
0
9''
0
0
0
0
1
11V
2
3'
4''
5'''
9V
11IV
1
0
0
0
0
0
3
0
1
1
0
0
0
WV
=
4'
0
0
0
1
0
0
5''
0
0
0
0
1
0
9
IV
0
0
0
0
0
1
11VI
7
3''
4'''
5IV
9VI
11V
1
1
0
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
WVI
=
3'
0
0
1
0
0
0
4''
0
0
0
1
0
0
5'''
0
0
0
0
1
0
9V
0
0
0
0
0
1
11VII
7'
3'''
4IV
5V
9VII
11VI
1
0
0
0
0
0
7
0
1
1
0
0
0
WVII
=
3''
0
0
1
0
0
0
4'''
0
0
0
1
0
0
5 IV
0
0
0
0
1
0
9VI
0
0
0
0
0
1
10
1
11VII
1
0
7'
1
0
WVIII
=
3'''
0
0
4IV
1
0
5V
0
1
9VII
0
1
4. Умножение матриц проводят
в следующем порядке:
W1-2 = WI Ч WII; W1-3 = W1-2 Ч WIII; W1-4 = W1-3 Ч WIV; W1-5 = W1-4 Ч WV;
W1-6 = W1-5 Ч WVI; W1-7 = W1-6 Ч WVII; W1-8 = W1-7 Ч WVIII.
11''
6''
5
9''
11
1
0
0
0
W1-2
=
6
0
1
0
0
9
0
0
1
1
11IV
3
4'
5''
9IV
11
1
0
0
0
0
W1-4
=
6
0
1
0
0
0
9
0
1
1
1
1
11V
2
3'
4''
5'''
9V
11
1
0
0
0
0
0
W1-5
=
6
0
1
1
0
0
0
9
0
1
1
1
1
1
При умножении строку первой
матрицы поэлементно умножают на столбец
второй матрицы, результаты поэлементного
умножения суммируют и устанавливают
на место пересечения перемножаемой
строки и столбца.
11VII
7'
3'''
4IV
5V
9VIII
11
1
1
1
0
0
0
W1-7
=
6
0
1
2
0
0
0
9
0
1
2
1
1
1
11VI
7
3''
4'''
5IV
9VI
11
1
1
0
0
0
0
W1-6
=
6
0
1
1
0
0
0
9
0
1
1
1
1
1
10
1
11
2
0
W1-8
=
6
1
0
9
2
2
11'''
6'''
4
5'
9'''
11
1
0
0
0
0
W1-3
=
6
0
1
0
0
0
9
0
0
1
1
1
Таким образом, число путей:
ρ11-10 = 2; ρ11-1 = 0; ρ6-10 = 1; ρ6-1 = 0; ρ9-10 = 2; ρ9-1 = 2.
.
Можно сделать вывод, что сложность структуры невелика, так как для самых простых структур сложность не превышает 1.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение сложности структуры.
2. Дайте определение гиперграфа.
3. Согласно какому допущению иерархический граф может быть представлен как набор гиперграфов?
4. Чем гиперграф отличается от графа?
5. С помощью какой матрицы можно описать гиперграф?
6. Каким образом можно ввести контур исходного графа в иерархический граф?
7. Какие требования и рекомендации необходимо использовать при построении иерархического графа?
8. Каким образом необходимо перемножать матрицы инцидентности?
9. Напишите формулу для определения сложности структуры.