Практическая работа № 2 топологические свойства структур

Цель работы

Изучение способов описания структур и их топологических свойств.

Граф – это модель структуры, требующая для своего построения минимум информации. Анализ структурных свойств системы на графе неизбежно приобретает топологический характер. Особое значение имеет выделение элементов, соответствующих изолированным, висячим и тупиковым вершинам графа.

Для определения топологии связей между элементами структуры в соответствующем графе выявляют петли, контуры и сильносвязные подграфы. Петля интерпретируется как наличие связи между входом и выходом одного и того же элемента. Контур образует путь – чередующуюся последовательность ребер и вершин, в котором начальная и конечная вершины совпадают. Подграф называется сильносвязным, если все входящие в него вершины взаимно достижимы, то есть из любой вершины подграфа можно попасть в любую другую его вершину.

Для выделения сильносвязных подграфов определяют множество Q_i вершин графа, достижимых из вершины i, и множество Qⁱ вершин графа, из которых можно достичь вершину i. Пересечение Q(i) = Q_i ∩ Qⁱ содержит вершины, принадлежащие одному сильносвязному подграфу. Последовательно перебирая вершины i и определяя множества Q(i), можно найти разбиение графа на сильносвязные подграфы.

Пример

По заданной диаграмме графа (рис. 2.1):

1) определить изолированные, висячие и тупиковые вершины;

2) определить наличие петель, контуров;

3) определить и записать сильносвязные подграфы;

4) провести конденсацию графа.

Рис. 2.1. Граф

Выполнение задания

1. Изолированные вершины отсутствуют; висячая вершина – 5; тупиковые вершины отсутствуют.

2. Петли отсутствуют. Можно выделить контуры:

12 → 11 → 2 → 3 → 6 → 4 → 7 → 12;

16 → 13 → 10 → 15 → 16;

1 → 17 → 9 → 8 → 15 → 1;

16 → 13 → 10 → 15 → 1 → 17 → 9 → 8 → 15 → 16.

3. Для выделения сильносвязных подграфов для каждой i-вершины графа (рис. 2.1) определяют множество Q_i вершин, достижимых из вершины i с учетом самой вершины i, и множество Qⁱ вершин, из которых можно достичь вершину i с учетом самой вершины i. Пересечение Q(i) = Q_i ∩ Qⁱ содержит вершины, принадлежащие одному сильносвязному подграфу.

Q(1) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(2) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(3) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(4) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(5) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17) {5} = {5};

Q(6) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(7) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(8) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(9) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(10) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(11) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(13) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(14) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} {5, 14} = {14};

Q(15) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(16) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

Q(17) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17}.

Таким образом, исходный граф можно разбить на сильносвязные подграфы G(1), G(5), G(14), из которых только G(1) является нетривиальным (содержит больше одной вершины):

G(1) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17};

G(5) = {5};

G(14) = {14}.

4. Найденные сильносвязные подграфы можно представить как вершины нового графа (рис. 2.2). Если вершины, вошедшие в состав разных сильносвязных подграфов G(i) и G(k), в исходном графе связывало хотя бы одно ребро, то подграфы G(i) и G(k) также должны быть соединены соответствующим ребром. Полученный граф (рис. 2.2), называемый конденсацией, значительно проще исходного. В графе-конденсации отсутствуют контуры и петли, но он сохраняет некоторые структурные свойства исходного графа.

Рис. 2.2. Граф-конденсация

Контрольные вопросы

1. Назовите простейшую модель структуры системы.

2. Дайте определение петли, контура, сильносвязного подграфа.

3. Чем контур отличается от сильносвязного подграфа?

4. С какой целью осуществляют конденсацию графов?

5. В каких системах можно использовать конденсацию графов?