8 Теорема 2. Следствия 1,2,3. Замечание об отношении 2б.М.

ТЕОРЕМА 2. Произведение ограниченной при х→ х₀ ф-ии на б.м-ую есть ф-ия б.малая.

Док-во:

Пусть f(х) ограниченная ф-ия,т.е. /φ(х)/ ≤М, хс U_δ,х0

α(х)-б.м. х→ х₀ ; /α(х) /< ε/М хс U_{δ1, х}

Рассмотрим произведение φ(х)* α(х) δ₂=min{δ, δ₁ }

/φ(х)* α(х)/= /φ(х)/* /α(х)/ < М* ε/М

/φ(х)* α(х)/ < ε, хс U_δ2,х0

φ(х)* α(х)=б.м. при х→ х₀

lim φ(х) * α(х)=0, при х→ х₀

СЛЕДСТВИЯ

1.Произведение постоянной на б.м. при х→ х₀ ф-ию, есть ф-ия б.малая при х→ х₀

2.Произведение конечного числа б. малых при х→ х₀ ф-ий, есть ф-ия б.м. при х→ х₀

3.Целя положительная степень [α(х)]ª б.малой окрестности при х→ х₀ есть б. малая при х→ х₀

ЗАМЕЧАНИЕ. Отношения 2 б.м. при х→ х₀ ф-ий есть некоторая неопределенность, а именно :а)величина б.м. ;б)постоянная ; в) величина б.б.

А)Если lim α(х) /β(х)=0,то говорят,что α(х) б.м. более высокого порядка,чем β(х) при х→ х₀

Б) Если lim α(х) /β(х)=К=const≠0,то α(х) и β(х) б.м.,имеющие одинаковый порядок малости при х→ х₀ . Если К=1, то α(х) и β(х) называются эквивалентными при х→ х₀

В)Если lim α(х) /β(х)=∞, то β(х) б.м. более высокого порядка,чем α(х) при х→ х₀

9. Теоремы о пределах. Теоремы1,2,следствие,3.

1.теорема.

Если каждое из слагаемых алгебраической суммы конечного числа ф-ий имеет предел при при Х→Х₀ то предел этой алгебраической суммы равен такой же алгебраической суммы пределов.

Дано.

F(x), известно =Af(x)=A+α, xєν_ν1x

g(x), =B, g(x)=B+β, xєν_ν2

h(x) =C, h(x)=C+Ґ, xєν_ν3

δ_u=min{δ₁,δ₂,δ₃} (4)

φ(x)=f(x)+g(x)-h(x)

φ(x)=(A+α)+(B+β)-(C+Ґ)=(A+B-C)+(α+β-Ґ) по теореме о б.м. xєν_δ4x0

получается =A+B-C= + - ч.т.д.

2.теорема.Если каждый из сомножителей произведения конечного числа ф-ий имеет предел при Х→Х₀ то предел произведения равен произведению пределов сомножителей

= *

Док-ть сам-но.(задача А )

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

=C (т.о пределах)

3.теорема.Если ф-я f(x) имеет, при Х→Х₀, конечный предел отличный от 0, то предел обратной величины равен обратной величине предела

=A≠0

=

Док-во.

Т.к. предел f(x) при x→x₀ равен A

=A => lf(x)-Al<E, xєν_δx0

В качестве E возьмем A/2

lf(x)-Al<A/2, xєν_δ1x0

оценим lf(x)l=lA+f(x)-Al>lAl-lf(x)-Al>lAl-⃓A⃓/2=⃓A⃓/2

⃓f(x)l>⃓A⃓/2 xєν_δ1x0

А тогда ⎮ ⎮<

Следовательно модуль обратной величины меньше чем 2 обратные величины, т.е. есть величина ограниченная, при Х→Х₀.

Докажем, что ( - )→0 как только Х→Х₀.

Оценим модуль разности

⎮ * ⎮= * *⎮A-f(x)⎮< * *E

А по теореме №2 о б.м. произведение ограниченного на б.м. есть б.м.

=

=A≠0

10. Теорема4(предел частного)

Если делимое и делитель имеют конечный предел при Х→Х₀. и предел делителя отличен от нуля, то предел частного равен частному пределов при Х→Х₀.

Дано.

=

=B≠0

Док-во.

= = * = * = (т. О произведении и пределе обратной величины)

12 Первый замечательный предел.

Теорема 1

Предел отношения sin бесконечно малой дуги к самой дуге выраженной в радианах равен 1.

(1)

1. Пусть сначала x>0, причем т.к. дуга →0, то будем считать что 0<x< . Построим круг единичного радиуса и возьмем угол AOB x радиан. К точке A проведем касательную, к точке B проведем касательную, построим хорду AD (┴)

Очевидно, что AD<ABD<AND, 2AC,2BD<2AN, AC<AB<AN=BM

Из равенства прямоугольных треугольников AKM и BKN с равными вертикальными углами => AN=BM

Sinx<x<tgx (2)

Поскольку sinx>0 разделим все части (2) на sinx

1< < ; sinx>0

Cosx< <1 (3)

При x→0 левая часть (3) =1

=>

2. Теперь возьмем x<0

Значит пределы слева и справа равны

, x→0

Замечание

⎮sinx⎮≤⎮x⎮ когда x→0