40. Дифференцируемость и непрерывность.

   Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

Неявно заданная функция: Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

45 Дифференциал, его применение в приближенных вычислениях.

Дифференциалом dy функции y=y(x) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению   независимой переменно x.  Дифференциал dx независимой переменной x равен ее приращению   :  Дифференциал любой дифференцируемой функции y=y(x) равен произведению ее производной на дифференциал независмой переменной:  Если   достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем   , имеет место приближенное равенство   . 

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Теорема о производной сложной функции (дифференцирование сложной функции).

Пусть x=x(t), y=y(t) – дифференцируемы в точке t, z=f(x,y) – дифференцируема в точке t(x,y), если t получит Δt, то x получит Δx, y – Δy, z –Δz, а т.к. функция z дифференцируема, то ее приращение

46. Геометрический смысл и свойства дифференциала

Геометрический смысл: дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Дифференциал функции обладает свойствами:

1. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

47. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции fи обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

48. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

49. Интервалы монотонности. Монотонность функции. Условия монотонности.

Оказывается, монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной:

• Если производная положительна, то функция возрастает

• Если производная отрицательна, то функция убывает

50. Экстремумы (необходимое условие существования с док.).

Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀. Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назыветсямаксимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_minДоказательство. Докажем необходимость условия существования максимума. Пусть f '(x) = 0,  f ''(x) > 0.    Так как f ''(x) непрерывна, то в достаточно малом интервале (x₀ - h, x₀ + h) вторая производная положительна: f ''(x) > 0. Это означает, что f '(x) возрастает в этом интервале. Так как при этом f '(x₀ )=0, то f '(x)<0 в интервале (x₀ - h, x₀ ) и f '(x)>0 в интервале (x₀  , x₀ + h).    Таким образом, функция f(x) убывает в интервале (x₀ - h, x₀ ) и возрастает в интервале (x₀  , x₀ + h). Поэтому в точке x₀ функция f(x) имеет минимум. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума. На рисунке функция f(x) имеет в точке x₁ минимум, в точке x₂ - максимум.    Второй производной можно воспользоваться при решении задач на отыскание максимума и минимума функции.

51. Экстремумы (достаточное условие существования без док.), схема исследования на экстремум

Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.

 Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.  Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").

Теорема 4. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x₀ первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x₀ функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1)Найти производную функции.  2)Найти критические точки, т.е. точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует.  3)Рассмотреть окрестность каждой из точек, и исследовать знак производной слева и справа от этой точки.  4)Определить координаты экстремальных точек, для этого значения критических точек подставить в данную функцию. Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.

52. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

53. Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

 вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда  . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

54.Формула Тейлора:

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

 Многочлен Тейлора порядка n:

     Остаточный член формулы Тейлора 

     В форме Лагранжа:

     В форме Коши:

     В форме Пеано:

 при 

     В интегральной форме:

55. Формула Тейлора для любой функции, разложение функций e^x, sinx.

 Основные разложения в ряд Тейлора 

56. Функции многих переменных: способы задания, область определения, непрерывность и разрывы.

1.                Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон  f  , в силу которого каждой точке М(х;...;х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х;...;х).

Множество точек М(х;...;х), для которых функция и= f(х;...;х) определена, называют  областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных  z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если

= f(М).

      Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.

      Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция  z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция  z= имеет разрыв на параболе  

57. Частные производные, геометрический смысл.

Частной производной функции z=z(x, y) по аргументe x называется производная этой функции по x при постоянном y. Аналогично, частной производной функции z=z(x, y) по аргументу y называется  производная этой функции по y при постоянном x. Частные производные обозначаются следующим образом:    Частная производная функции нескольких переменных по одному из аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Геометрически дифференцируемость функции в точке означает наличие определённой касательной в точке.

58. Полный дифференциал, его применение для приближенных вычислений.

Теорема об инвариантности полного дифференциала (инвариантность формы полного дифференциала).

Форма дифференциала не изменится, если x и y будут функциями новых переменных U и V:

Полный дифференциал, функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение , в случае, когда оно отличается от полного приращения Df = f (x + Dx, y + Dy, z + Dz,…) - f (x, y, z, …) на величину, бесконечно малую по сравнению с

59. Дифференцирование сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции

Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается   или  .

Производная композиции равна:

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,

60. Дифференцирование неявных функций.

Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные   неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

61. Экстремум функции двух переменных

 Говорят, что функция   имеет максимум в точке  , т.е. при   , если   для всех точек  , достаточно близких к точке   и отличных от неё.

Говорят, что функция   имеет минимум в точке  , т.е. при  , если   для всех точек  , достаточно близких к точке   и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция   достигает экстремума при  , то каждая частная производная первого порядка от   или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку   функция   имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка   является критической точкой функции  , т.е. , тогда при  : 1)   имеет максимум, если дискриминант   и  , где  ; 2)   имеет минимум, если дискриминант   и  ; 3)   не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант  ; 4) если   , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

62. Метод наименьших квадратов.

Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t .

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁ , y₂ , ... , y_T)' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели  .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.