14 Билет

1 Вопрос – геометрическое условие равновесия пространственной системы сил

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. Достаточность: при F_o=0 система сходящихся сил, приложенных в центре приведения О, эквивалентна нулю, а при М_о=0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю. Необходимость: Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что система сил Q и Р (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и должно выполняться рав-во Q=–Р. Но это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т. е. если h=0. А это значит, что главный момент равен нулю (М_о=0). Т.к. Q+Р=0, a Q=F_o+P', то F_o+P'+P=0, и, следовательно, F_o = 0. Необх и дост усл равнов пространственной сист сил им вид: F_o=0, M_o=0 (4.15),

или, в проекциях на координатные оси, Fox=åF_kx=F_1x+F_2x+…+F_nx=0; F_Oy=åF_ky=F_1y+F_2y+...+F_ny=0; F_oz=åF_kz=F_1z+F_2z+…+F_nz=0 (4.16). M_Ox=åM_Ox(F_k)=M_Ox(F₁)+М_ox(F₂)+...+M_Ox(F_n)=0, M_Oy=åM_Oy(F_k)=M_oy(F₁)+M_oy(F₂)+…+M_oy(F_n)=0, М_oz=åМ_Оz(F_k)=М_Оz(F₁)+M_oz (F₂)+...+М_oz(F_n)=0. (4.17)

Т.о. при решении задач имея 6 ур-ий можно найти 6 неизвестных. Замечание: пару сил нельзя привести к равнодействующей. Частные случаи: 1) Равновесие пространственной системы параллельных сил. Пусть ось Z параллельна линиям действ силы (рис 4.6), тогда проекции сил на x и y равны 0 (F_kx=0 и F_ky=0), а остаётся только F_oz. А что касается моментов, то остаются только M_ox и M_oy, а M_ozотсутствует. 2) Равновесие плоской системы сил. Остаются ур-я F_ox, F_oy и момент M_oz (рис 4.7). 3) Равновесие плоской системы параллельных сил. (рис. 4.8). Остаются только 2 ур-я: F_oy и M_oz.При составлении ур-ий равновесия за центр привидения может быть выбрана любая точка.

2 вопрос - Потенциальная энергия. Полная механическая энергия системы

Определение- механическая энергия системы тел, которая определяется характером сил взаимодействия между ними и их взаимным расположением. Пусть взаимодействие тел друг на друга осуществляется силовыми полями (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), которые характеризуются тем, что работа, совершаемая действующими в системе силами при перемещении тела из первое положения во второе, не зависит от траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений системы. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными. В случае, если работа силы зависит от траектории перемещения тела из одного положения в другое, то такая сила называется диссипативной; примером диссипативной силы является сила трения. Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией P. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении состоянии системы равна приращению потенциальной энергии, взятому с отрицательным знаком, так как работа производится за счет уменьшения потенциальной энергии: (2) Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (2) примет вид (3) Значит, если известна функция P(r), то из (3) можно найти силу F по модулю и направлению. Потенциальная энергия может быть найдена, используя (3) как где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Но это не отражается на физических законах, они спользуют или разность потенциальных энергий в двух различных положениях тела, или производная P по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают удобный для решения прикладных задач нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня. Для консервативных сил или в векторном виде (4) где (5) (i, j, k - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (5), называется градиентом скаляра P. Для него наряду с обозначением grad P применяется также обозначение . (<набла>) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором: (6) Конкретный вид функции P зависит от вида силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна (7) где высота h отсчитывается от выбранного нулевого уровня, для которого P₀=0. Выражение (7) следует из того, что потенциальная энергия тела равна работе силы тяжести при падении данного тела с высоты h на поверхность Земли. Так как начало отсчета можно выбрать произвольно, то потенциальная энергия может быть величиной меньшей нуля (при этом кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты, глубина которой h', P= -mgh'. Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна испытываемой телом деформации: где F_{x_upr} - проекция силы упругости на ось x; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что F_{x_upr}направлена в сторону, противоположную деформации x. По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположна ей по направлению: Элементарная работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна а полная работа тратится на увеличение потенциальной энергии пружины. Значит, потенциальная энергия упругодеформированного тела Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия: т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.