Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

1 8. Правила дифференцирования К основным правилам дифференцирования относят:

- вынесение постоянного множителя за знак производной;

- производная суммы, производная разности;

- производная произведения функций;

- производная частного двух функций (производная дроби).

19.Производная сложной функции

20. Производные высших порядков

21. Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется линейная относительно х часть приращения функции.

22. Свойства дифференциала

23. Дифференциалы высших порядков

24. Монотонность функции

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

25. Выпуклость функции

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

26. Асимптоты.

Асимптота - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность

27. Правило Лопиталя –

метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и

28. Функция нескольких переменных.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области  ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).

z=f(x,y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

29. Линия уровня функции двух переменных

30. Предел функции

Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого  > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству AP < , имеет место неравенство f(x,y)b < .

31. Непрерывность функции

32. Частные производные.

Частной производной функции называется предел отношения ее частного приращения к приращению соответствующей переменной, при стремлении последней к нулю.

33. Дифференциал функции двух переменных.

34. Градиент.

Градиентом функции называется вектор с координатами равными частным производным. Высчитывается в данной точке. Характеризует направление наискорейшего изменения функции.

35. Экстремум функции двух переменных

Точка М с координатами (х_o, y_o, z_o ) называется точкой максимума (минимума) функции

если существуют окрестности точки М, для которых выполняется неравенство:

36. Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

1. Находим частные производные

2. Решаем систему уравнений, получаем корни

3. Находим вторые производные

4. Для каждой критической точки считаем….

37. Первообразная

38. Неопределенный интеграл

39. Свойства неопределенного интеграла.

40. Определенный интеграл

40. Свойства определенного интеграла

40. Геометрические приложения определенного интеграла

43. Несобственные интегралы