5.3.2 Ряд Лорана
Определение. Рядом Лорана называется ряд
.
При
этом ряд
называется главной
частью ряда
Лорана, а ряд
– правильной
частью. Если
,
то областью сходимости ряда является
кольцо
.
Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (63), коэффициенты которого вычисляются по формулам:
. (70)
Заметим, что из этой теоремы кольца разложимости определяются через расстояния от центра разложения до двух "соседних" особых точек . Вычисление контурных интегралов (70), как правило, затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.
Пример
1. Разложить
в ряд Лорана в кольце
функцию
.
Преобразуем данную функцию:
.
(
)
Первые
два слагаемых в правой части (
)
имеют нужный вид, так как представляют
собой степени разности
.
Последние два
слагаемых запишем в виде:
,
.
Применив формулы 7), а затем 8) (из (69)), найдем
, (
)
. (
)
Подставляя ( ) и ( ) в формулу ( ), после несложных преобразований получаем разложение в кольце в ряд Лорана:
.
Пример
2. Разложить
в ряд Лорана функцию
в окрестности
.
Для
любого комплексного
,
.
Полагая
,
получаем:
.
Это разложение справедливо для любой
точки
.
В данном случае
"кольцо" представляет собой всю
комплексную плоскость с одной
выброшенной точкой
.
Пример
3. Получить
различные разложения в ряд Лорана
функции
.
Функция
имеет две
особые точки:
и
.
Следовательно, имеется три "кольца"
с центром в точке
,
в каждом из которых
является
аналитической: а) круг
;
б)
;
в)
– внешность круга
.
Найдем ряды Лорана для функции
в каждом из этих "колец". Представим
предварительно функцию в виде суммы
простейших дробей:
. (
).
а) Разложение в круге . Преобразуем ( ) следующим образом:
. (
)
Используя
формулу 7) из (69), получаем:
(
);
далее
(
).
Подставляя
эти разложения в (
),
получаем:
– это разложение есть ряд Маклорена
функции
.
б)
Разложение в кольце
.
Ряд (
)
для функции
остается
сходящимся в этом кольце, так как
.
Ряд (
)
для функции
расходится для
.
Поэтому преобразуем
следующим образом:
. (
)
Применяя формулу 7), получаем:
. (
)
Этот
ряд сходится, если
,
т.е. при
.
Подставляя (
)
и (
)
в (
),
найдем
.
в)
Разложение для
.
Ряд (
)
для функции
при
расходится, а ряд (
)
для функции
сходится, так как, если
,
то и подавно
.
Функцию
представим
в таком виде:
.
Используя формулу 7), получаем
.
Замечание: этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.
Пример
4. Разложить
в ряд Лорана функцию
в
окрестности ее особых точек.
Особые
точки функции:
.
а)
Разложение
в окрестности точки
,
т.е. в кольце
.
Представим функцию
в виде суммы простейших дробей:
.
Правую
часть преобразуем так:
.
Применяя разложение 7), в котором
заменим на –
,
получим
или
.
б)
Разложение
в окрестности точки
,
т.е. в кольце
.
Имеем
.