8. Комбинаторика. Перестановка

В комбинаторике перестановка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.

В теории групп под перестановкой произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя.

Свойства

Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:

Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка: Относительно этой операции множество перестановок порядка n образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают S_n.

Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой π_a, задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G, а — групповая операция.

9. Комбинаторика. Сочетание.

В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-элементные сочетания, подмножества, k = 3) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-элементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (n = 6) являются одинаковыми (однако, как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

В общем случае число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-й диагонали и n-й строки треугольника Паскаля.

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном n производящей функцией последовательности чисел сочетаний , , , … является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

10. Комбинаторика. Треугольник Паскаля, Бином Ньютона

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси^[1]. Имеет применение в теории вероятностей и обладает занимательными свойствами.

Свойства

Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси.

В строке с номером n:

первое и последнее числа равны 1.

второе и предпоследнее числа равны n.

третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк^[4].

четвёртое число является тетраэдрическим^[4].

m-е число равно биномиальному коэффициенту .

Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:^[4]

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.^[4]

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n[4].

Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом^[5] (следствие теоремы Люка).

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где  — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд