§3. Равновесные процессы

1.  Термодинамическое равновесие – это такое состояние термодинамической системы, когда температура T и давление p во всех точках системы одинаковы. При термодинамическом равновесии всякие макроскопические изменения прекращаются.

2.  В равновесном процессе система проходит через последовательность равновесных состояний. Равновесным может быть только бесконечно медленный процесс, поэтому он является идеальной моделью медленно протекающих реальных процессов. В настоящем курсе рассматриваются только равновесные процессы.

Равновесными могут быть не только термодинамические, но и механические процессы. Так, при вычислении работы подъема тел в поле силы тяжести в общем случае молчаливо предполагается, что тело поднимается бесконечно медленно, ускорение подъема равно нулю, сила тяги равна по величине силе тяжести mg, поэтому работа подъема A = mgh.

3 .  Работа идеального газа в изопроцессах

а.  Изотермический процесс, T = const. Пусть идеальный газ, взятый в количестве  молей, расширяется от объема V₁ до объема V₂ при постоянной температуре. Вычислим работу, совершаемую газом. Для этого в формулу dA = pdV подставим p из уравнения Клапейрона-Менделеева и проинтегрируем.

. (3.1)

Если газ расширяется (рис.5), объем увеличивается, V₂ > V₁, работа положительна, A > 0. На графике эта работа соответствует площади фигуры в пределах от V₁ до V₂ под кривой процесса.

Е сли газ сжимается (работу совершают внешние тела), V₂ < V₁, работа отрицательна, A < 0. При расширении к газу должно подводиться тепло, при сжатии – отводиться.

б.  Изобарический процесс, p = const. В системе координат p, V графиком изобарического процесса является прямая линия, параллельная оси абсцисс (рис.6). Поскольку давление постоянно, вычисление работы расширения газа упрощается.

. (3.2)

Чтобы газ расширялся при постоянном давлении, к нему нужно подводить тепло. Если газ сжимается внешними телами, то для поддержания давления постоянным от газа должно отводиться тепло.

в .  Изохорический процесс, V = const. В системе координат p, V графиком изохоры является прямая линия, параллельная оси ординат (рис.7). Объем системы не меняется, работа равна нулю, A = 0. При повышении давления к системе подводится тепло, при понижении – отводится.

4.  Адиабатный процесс. Наряду с изотермическим, изобарическим, изохорическим процессами, протекающими с теплообменом между системой и окружающей средой, в природе реализуются процессы, протекающие без теплообмена. Обычно это быстрые процессы, когда теплообмен просто не успевает произойти. В этом случае dQ = 0. (Например, распространение звуковых волн). Но можно реализовать и медленный процесс с dQ = 0, если поместить систему в теплоизолирующую оболочку. Такие оболочки называются адиабатными (от греч. a – не, diabatos – проходимый, непроходимая для тепла). Адиабатный процесс также является изопроцессом, поскольку остается неизменной теплоемкость системы, C = dQ dT = 0 = const.

Найдем уравнение адиабатного процесса для идеального газа. Будем исходить из 1-го закона термодинамики, который здесь принимает вид: 0 = dU + pdV. (3.3)

Так как dU = C_V dT, то 0 =  dU = C_V dT + pdV. (3.4)

В уравнение входит 3 параметра: p, V и T. Сведем это число к двум, выразив T из уравнения Клапейрона-Менделеева. , . Подставляем, записав нуль как обычно справа. . (3.5)

Из уравнения Майера R = C_p C_V. Подставив и избавившись от дробности, получаем:

. (3.6)

Разделив все члены на pVC_V и обозначив C_p C_V = , получаем дифференциальное уравнение адиабатного процесса в переменных p и V: . (3.7)

Интегрируем. pV ^ = const.    Симеон Пуассон, 1823 (3.8)

Выразив давление p из уравнения Клапейрона-Менделеева получаем уравнение Пуассона в переменных T и V: , или TV ^1 = const. (3.9)

Если из уравнения Клапейрона-Менделеева выразить объем V, получаем уравнение адиабаты в параметрах p, T: p(RT/p)^ = const, или p^1 T ^ = const. (3.10)

Н а рис.8 показаны графики адиабаты в сравнении с изотермой в координатах p, V (рис.8-а), в координатах T, V (рис.8-б), в координатах p, T (рис.8-в).

5.  Работа идеального газа в адиабатном процессе. Вычислим работу в параметрах p, V. Для этого в общее выражение работы (формула (2.16)) подставим p из уравнения Пуассона, p = const V ^. . (3.11)

После интегрирования получаем: . (3.12)

Значение константы можно выразить через любое состояние системы. Например, через начальное, p₁V₁^ = const. . (3.13)

Это работа идеального газа в адиабатном процессе в параметрах p, V.

Если записать уравнение адиабаты в параметрах T, V (формула 3.9) для начального и конечного состояний системы, , то (V₁ V₂)^1=T₂ T₁, а p₁V₁ = RT₁.

Подставляем в (3.13). . (3.14)

Аналогично получим в параметрах p и T. . (3.15)

6.  Уравнение Бернулли для идеального газа. Термодинамическая система может представлять собой не только неподвижный, но и движущийся идеальный газ. В случае медленного движения идеального сжимаемого газа к трем энергиям единичного объема, которые входят в уравнение Д.Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, добавляется еще внутренняя энергия. Поэтому закон сохранения энергии для линии тока идеального газа принимает вид: . (3.16)

Здесь u = U V – внутренняя энергия единичного объема. Очевидно, U = C_VT = c_V mT. Если выразить давление p из уравнения Клапейрона-Менделеева, p = RT/V = RT/M, выразить из уравнения (2.24) R = C_p  C_V и подставить, то первые два члена объединяются.

. (3.17)

Тогда . (3.18)

Подставляем в (3.17) и сокращаем на .

.   Уравнение Бернулли для идеального газа (3.19)

7.  Скорость истечения идеального газа из баллона через малое отверстие. Ее вычисление имеет большое значение в технике реактивного движения и в космонавтике.

Пусть в баллоне при температуре T₁ и под давлением p₁ находится идеальный газ. Полагаем, что в стенке баллона имеется малое отверстие, через которое газ вытекает в горизонтальном направлении. Допущение о горизонтальности струи позволяет избавиться в уравнении Бернулли от члена gh, что не существенно для результата, но упрощает решение.

В ыберем на горизонтальной линии тока, проходящей через отверстие, в глубине баллона, где течение мало заметно, точку 1, где линейную скорость v₁ можно принять равной нулю, v₁ = 0, и точку 2 в сечении отверстия (рис.9).

При этих условиях уравнение Бернулли для линии тока принимает вид:

. (3.20)

Отсюда выражаем скорость истечения газа . (3.21)

Если полагать процесс истечения адиабатным, что в большинстве случаев справедливо, то от температурного скачка T₁  T₂, который трудно оценить, можно перейти к скачку давлений. Из формулы (3.10) ,  . (3.22)

Скорость максимальна при истечении в пустоту при p₂ = 0 . (3.23)

Чем меньше молярная масса газа M, тем больше скорость его истечения. Для молекул воды, образующихся в водородно-кислородном двигателе, скорость истечения при T₁ = 1500 K и при условии, что C_p = 4R, составляет .