Однородные системы линейных уравнений

Если правая часть каждого уравнения в системе линейных уравнений нулевая, то система называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Это решение называется тривиальным. Поэтому возникает вопрос о существовании нетривиальных решений в однородной системе. Ответом служит следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы однородная система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных.

Следствие. Однородная система с матрицей имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен 0.

Некоторые свойства решений однородных систем:

• Если набор неизвестных – решение однородной системы, то коэффициент любой также является решением.

• Если и какие-то решения однородной системы, то + - также является решением этой системы.

Принципиально однородная система уравнений может:

1. решений не иметь вообще

2. иметь единственное решение, которое найдено по формуле Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы

3. иметь бесчисленное множество решений.

6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Вектор называется параллельным прямой , если либо он нулевой, либо прямая .

Вектор называется параллельным плоскости , если либо он нулевой, либо прямая .

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов называется такой новый вектор, который замыкает ломаную, построенную из данных векторов так, чтобы начало каждого последующего совпадало с концом предыдущего.

Суммой векторов является вектор -

Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора.

Замыкающий вектор направлен из начала первого вектора в конец последнего.

Произведением числа на вектор называется такой новый вектор, который сонаправлен с данным вектором, если число положительное, противоположно направлен, если число отрицательно, и равен нулю, если число равно 0.

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором (  ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (  ), если  < 0.