20. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений. Поверхности второго порядка.

Уравнение плоскости в пространстве характеризуется тем, что все переменные входят в степенях не выше первой. Поэтому плоскость является поверхностью 1го порядка. Если в уравнение поверхности хотя бы одна переменная входит во 2й степени, то говорят о поверхностях 2го порядка.

С фера:

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные множеством параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой фиксированной линии (направляющей).

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1. - эллиптический цилиндр.

2 ) - гиперболический цилиндр.

2. x² = 2py – параболический цилиндр.

Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторые точки вершины и пересекающие некоторую линию (направляющую).

К онус второго порядка:

Э ллипсоид – поверхность, которая подходящим образом подобрана в системе координат и имеет уравнение

т.к. в уравнение текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Числа полуоси эллипсоида.

Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

пересечем плоскостью .

Если линия лежит на , то отсутствует, значит, линия пересечения будет иметь вид: . При получается эллипс с полуосями и .

эллипс.

Аналогично рассекаем плоскостью .

Пересечение эллипсоида любой поверхностью дает эллипс.

О днополостный гиперболоид – плоскость, которая в подходящим образом подобранной системе координат задается уравнением:

Имеет 3 плоскости симметрии (координатные плоскости).

Будем пересекать поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

эллипс с полуосями и .

при любых правая часть >0. чем больше , тем больше полуоси эллипса.

Сечение такой поверхности плоскостью всегда дает эллипс.

гипербола.

Если , то в сечении гипербола, у которой действительная ось – ось ОХ. Если , то в сечении гипербола, у которой действительная ось .

гипербола, у которой действительная ось , а мнимая .

в зависимости от знака правой части получается либо гипербола с действительной осью , либо гипербола с действительной осью .