Вынужденные электрические колебания

        Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, в котором помимо ёмкости, индуктивности, сопротивления есть ещё и генератор переменного напряжения, то есть источник электрической энергии. Очевидно, что в таком контуре со временем (это время обычно мало) установятся вынужденные колебания тока с частотой генератора и с постоянной амплитудой; подвод энергии от генератора будет в точности компенсировать потери энергии на сопротивлении.

        Не будем учитывать внутреннее сопротивление генератора (будем считать, что у нас хороший, "идеальный" генератор). Получим уравнение для колебаний заряда на обкладках конденсатора. Для этого нам необходимо в закон Ома, который мы писали для затухающих колебаний, добавить в левую часть э.д.с. генератора E(t).

        Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда в электромагнитном контуре в стандартном (каноническом) виде получается следующим:

     или     

которое полностью аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника. Э.д.с. генератора  . Поэтому сразу можем написать решение:

 

        Резонансная частота колебаний заряда на обкладках конденсатора запишется также по аналогии с резонансной частотой механических колебаний маятника:

Напомню, что в электрическом контуре:

     и     

        Обратите внимание, что резонансная частота для заряда зависит от коэффициента затухания, а, следовательно, от сопротивления.

        Чаще нас интересуют не колебания заряда на конденсаторе, а колебания тока в цепи контура. Найдем эти колебания, продифференцировав заряд по времени:

В этом уравнении сделана подстановка - 

        Напомню, что - является сдвигом фазы между напряжением генератора   и током в цепи. В такой записи знак минус показывает, что напряжение первично, а ток отстает по фазе.

        Формулы для амплитуды тока и сдвига фаз выглядят так:

        Существенное отличие колебаний тока от колебаний заряда состоит в том, что резонансная частота для тока не зависит от сопротивления; она просто равна собственной частоте свободных колебаний в контуре:

        Колебания тока в цепи имеют аналогом не колебания механического маятника, а колебания его скорости. Резонансные кривые для амплитуды тока и зависимость сдвига фаз от частоты для различных сопротивлений - на графиках. Обратите внимание, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на генераторе отсутствует.

 

        Посмотрим ещё раз на формулу для амплитуды колебаний тока. В числителе стоит амплитудное напряжение на генераторе (мы пренебрегаем внутренним сопротивлением генератора, поэтому его э.д.с. равна напряжению на его клеммах); в знаменателе - величина, имеющая размерность сопротивления. Она включает в себя не только активное сопротивление R, но и составляющую, зависящую от ёмкости и индуктивности контура и от частоты генератора. Эта величина носит название полного сопротивления контура, или импеданса контура Z:

        Величина   носит название реактивного сопротивления, а её составляющие:   - индуктивным сопротивлением;  - ёмкостным сопротивлением.

        Посмотрим, как ведут себя колебания тока и напряжения на различных участках контура.

        Ток в цепи устанавливается со скоростью распространения электрического поля, то есть со скоростью света с. Время установления тока в цепи ~ l/c, где l - длина контура. Это время в реальных контурах много-много меньше, чем период колебаний. Поэтому мы считаем, что в каждый момент времени значения тока на всех участках цепи одинаково; колебания тока на сопротивлении, индуктивности и ёмкости происходят синхронно.

        Иначе обстоит дело с колебаниями напряжения. Вычислим напряжение на каждом элементе контура и посмотрим, как они отличаются по амплитуде и фазе.

        Видно, что напряжение на конденсаторе отстает на четверть периода от напряжения на сопротивлении, а напряжение на индуктивности на столько же по фазе опережает его. Напряжение на ёмкости и индуктивности всегда отличаются по фазе на полпериода. Наглядно сдвиг фаз на элементах цепи можно посмотреть на векторной диаграмме; из неё, в частности, ясно, почему импеданс вычисляется таким образом.

        Общее падение напряжения на всех трех элементах цепи равно напряжению на клеммах генератора; поэтому угол  на диаграмме дает сдвиг по фазе между током и напряжением на генераторе.