30

Диа- и парамагнетики

Еще Фарадей установил, что все вещества, будучи помещенными во внешнее магнитное поле, намагничиваются. По степени намагничивания их делят на две группы - слабые и сильные магнетики. К слабым магнетикам относятся диамагнетики и парамагнетики.

Диамагнетики - это вещества, у которых магнитные моменты ядер и электронов в атомах скомпенсированы и полный магнитный момент каждого атома равен нулю. Под действием внешнего магнитного поля у атомов диамагнетиков индуцируется магнитный момент  , который пропорционален величине внешнего поля   и противоположен по направлению вектору  . Таким образом, диамагнетик во внешнем поле   намагничивается, но его магнитная восприимчивость   отрицательна, а магнитная проницаемость   меньше единицы. По порядку величины магнитная восприимчивость диамагнитных газов лежит в области |10^-9÷10^-8|, а у жидких и твердых диамагнетиков |10^-6÷10^-5|. На диамагнетик со стороны внешнего магнитного поля действует сила, которая выталкивает диамагнетик в область более слабого поля.

Рассмотрим поведение висмутового стержня во внешнем неоднородном магнитном поле.

 a)

 б)

 в)  Рис. 2.6

Возьмем стержень из диамагнитного вещества и подвесим его между полюсами электромагнита, как показано рис. 2.6а. Кружки в стержне - это атомы диамагнетика с нулевым магнитным моментом. Подадим питание на катушки электромагнита. Между наконечниками возникнет неоднородное магнитное поле  , и диамагнетик намагнитится. Индуцированные магнитные моменты атомов (они показаны стрелками) будут ориентированы против магнитного поля (рис. 2.6б). Но на суммарный магнитный момент диамагнетика   во внешнем неоднородном поле   действует сила: 

,

где  .

Несимметричности внешнего поля, ориентации и формы диамагнетика приведут к тому, что силы   и   будут отличаться друг от друга численно и не будут лежать на одной прямой. Вследствие этого диамагнетик начнет поворачиваться вокруг оси подвеса и перемещаться в поле  . Движение стержня будет продолжаться до тех пор, пока силы   и  не уравновесят друг друга (рис. 2.6в).

Отметим лишний раз, что при любом положении диамагнетика индуцированные магнитные моменты   его атомов всегда ориентированы против  .

Парамагнетики - это вещества, атомы которых имеют ненулевые магнитные моменты  . Но в обычном состоянии эти магнитные моменты ориентированы хаотично и полный магнитный момент парамагнитного тела   равен нулю, т.е. парамагнетик не намагничен. При помещении парамагнетика во внешнее магнитное поле   магнитные моменты его атомов ориентируются по полю, т.е.  , и парамагнетик намагничивается. Магнитная восприимчивость парамагнетика  , а магнитная проницаемость μ_n>1. По порядку величины восприимчивость парамагнитных газов лежит в области (10^-7÷10^-6), а у жидких и твердых парамагнетиков (10^-6÷10^-4). Со стороны внешнего магнитного поля на парамагнетик действует сила, которая втягивает парамагнетик в область более сильного поля.

Рассмотрим поведение парамагнитного стержня, подвешенного на нити в неоднородном внешнем магнитном поле  .

 a)

 б)

 в)  Рис. 2.7

Возьмем стержень из парамагнетика и подвесим его между полюсами электромагнита, как показано на рисунке 2.7а. Кружки со стрелочками внутри стержня - это атомы парамагнетика с хаотически ориентированными магнитными моментами  . При подаче питания на катушки электромагнита между его наконечниками возникает неоднородное магнитное поле  . Под действием поля   магнитные моменты атомов   ориентируются так, что   и парамагнетик намагничивается (рис. 2.7б), но на суммарный магнитный момент парамагнетика   со стороны внешнего магнитного поля   действует сила  .

Несимметричности внешнего поля, ориентации подвеса и формы тела приведут к тому, что силы   и   будут отличаться друг от друга численно и по направлению. Вследствие этого парамагнетик начнет поворачиваться вокруг оси подвеса и перемещаться в поле  . Вращение стержня будет происходить до тех пор, пока силы   и   не будут находиться на одной прямой (рис. 2.7в). Но т.к.  , то парамагнетик под действием большей из них силы притянется к наконечнику электромагнита.

Диа- и парамагнетики называются слабыми магнетиками, т.к. их магнитные восприимчивости   имеют значения |10^-9÷10^-4| , и при комнатных температурах упорядоченное направление   после намагничивания парамагнетика достаточно легко разрушается тепловым хаотическим движением атомов, т.е. парамагнетик размагничивается. Другими словами, магнитная проницаемость μ у слабых магнетиков мало отличается от единицы.

31

ферромагнетик [см. ферромагнетизм] - физ. вещество, обладающее самопроизвольной намагниченностью благодаря ферромагнитно. упорядоченности в расположении его атомных магнитных моментов; при отсутствии внешнего намагничивающего поля ферромагнетик разбивается на отдельные участки (домены), намагниченные каждый в своем направлении, в сильном магнитном поле приобретает однородную намагниченность в направлении поля и длительно ее сохраняет; типичные ферромагнетики - железо, кобальт, никель, сталь и ряд других сплавов.

32

Энергия магнитного поля

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии.

Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Энергия W_м магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

                                      W_м = LI²/ 2

33

Вихревое электрическое поле

Возникающее при изменении магнитного поля электрическое поле имеет совсем другую структуру, чем электростатическое. Оно не связано непосредственно с электрическими зарядами, и его силовые линии не могутна них начинаться и кончаться. Они вообще ни где не начинаются и нигде не кончаются, представляя собой замкнутые линии, подобные силовым линиям магнитного поля. Это так называемое вихревое поле.

Вихревое электрическое поле

Причина возникновения электрического тока в неподвижном проводнике - электрическое поле. Всякое изменение магнитного поля порождает индукционное электрическое поле независимо от наличия или отсутствия замкнутого контура, при этом если проводник разомкнут, то на его концах возникает разность потенциалов; если проводник замкнут, то в нем наблюдается индукционный ток.

Индукционное электрическое поле является вихревым.  Направление силовых линий вихревого эл. поля совпадает с направлением индукционного тока Индукционное электрическое поле имеет совершенно другие свойства в отличии от электростатического поля.

Ток смещения

 Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Этот термин имеет смысл в таких веществах, как, например, диэлектрики. Там смещаются заряды под действием электрического поля. Но в вакууме зарядов нет – там смещаться нечему, а магнитное поле есть. То есть название Максвелла «ток смещения» – не совсем удачное, но смысл, вкладываемый в него Максвеллом, – правильный.

      Максвелл сделал вывод: всякое переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.

      Токи проводимости в проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике или в вакууме. Переменное электрическое поле в конденсаторе создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий величину, равную току в металлическом проводнике.

      Это утверждение позволяет (на базе нашего примера с конденсатором) найти величину тока смещения. В свое время мы с вами доказали, что поверхностная плотность поляризационных зарядов σ равна   – вектору электрического смещения:

    

,

(7.2.2)

      Полный заряд на поверхности диэлектрика и, следовательно, на обкладках конденсатора    (S – площадь обкладки)

      Тогда

,

(7.2.3)

т.е. ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения   . Поэтому он и получил такое название – ток смещения.

      Плотность тока смещения

,

(7.2.4)

      Вихревое магнитное поле (   ) образующееся при протекании тока смещении, связано с направлением вектора    правилом правого винта (рис. 7.2).

      Из чего складывается ток смещения?

      Из раздела «Электростатика и постоянный ток» (п. 4.3), известно, что относительная диэлектрическая проницаемость среды   где χ – диэлектрическая восприимчивость среды. Тогда

  или 

Отсюда видно, что    – вектор поляризации. Следовательно

,

(7.2.5)

В этой формуле    – плотность тока смещения в вакууме;    – плотность тока поляризации, т.е. плотность тока, обусловленная перемещением зарядов в диэлектрике.

34

35

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ВАКУУМЕ

Что такое вакуум? - это такая степень разрежения газа, при которой соударений молекул практически нет; - электрический ток невозможен, т.к. возможное количество ионизированных молекул не может обеспечить электропроводность; - создать эл.ток в вакууме можно, если использовать источник заряженных частиц; - действие источника заряженных частиц может быть основано на явлении термоэлектронной эмиссии.

Термоэлектронная эмиссия - это испускание электронов твердыми или жидкими телами при их нагревании до температур, соответствующих видимому свечению раскаленного металла. Нагретый металлический электрод непрерывно испускает электроны, образуя вокруг себя электронное облако. В равновесном состоянии число электронов, покинувших электрод, равно числу электронов, возвратившихся на него ( т.к. электрод при потере электронов заряжается положительно). Чем выше температура металла, тем выше плотность электронного облака.

Вакуумный диод Электрический ток в вакууме возможен в электронных лампах. Электронная лампа - это устройство, в котором применяется явление термоэлектронной эмиссии.  Вакуумный диод - это двухэлектродная ( А- анод и К - катод ) электронная лампа. Внутри стеклянного баллона создается очень низкое давление   Н - нить накала, помещенная внутрь катода для его нагревания. Поверхность нагретого катода испускает электроны. Если анод соединен с + источника тока, а катод с -, то в цепи протекает  постоянный термоэлектронный ток. Вакуумный диод обладает односторонней проводимостью.  Т.е. ток в аноде возможен, если потенциал анода выше потенциала катода. В этом случае электроны из электронного облака притягиваются к аноду, создавая эл.ток в вакууме.

36

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ

В обычных условиях газ - это диэлектрик, т.е. состоит из нейтральных атомов и молекул и не содержит свободных носителей эл.тока. Газ-проводник - это ионизированный газ. Ионизированный газ обладает электронно-ионной проводимостью.

Воздух является диэлектриком в линиях электропередач, в воздушных конденсаторах, в контактных выключателях.

Воздух является проводником при возникновении молнии, электрической искры, при возникновении сварочной дуги.

Ионизация газа

- это распад нейтральных атомов или молекул на положительные ионы и электроны путем отрыва электронов от атомов. Ионизация происходит при нагревании газа или воздействия излучений (УФ, рентген, радиоактивное) и объясняется распадом атомов и молекул при столкновениях на высоких скоростях.

Газовый разряд - это эл.ток в ионизированных газах. Носителями зарядов являются положительные ионы и электроны. Газовый разряд наблюдается в газоразрядных трубках (лампах) при воздействии электрического или магнитного поля.

Рекомбинация заряженных частиц

- газ перестает быть проводником, если ионизация прекращается, это происходит в следствие рекомбинации ( воссоединения противоположно заряженных частиц).

Существует самостоятельный и несамостоятельный газовый разряд.

Несамостоятельный газовый разряд - если действие ионизатора прекратить , то прекратится и разряд.

Когда разряд достигает насыщения - график становится горизонтальным. Здесь электропроводность газа вызвана лишь действием ионизатора.

Самостоятельный газовый разряд  - в этом случае газовый разряд продолжается и после прекращения действия внешнего ионизатора за счет ионов и электронов, возникших в результате ударной ионизации ( = ионизации эл. удара); возникает при увеличении разности потенциалов между электродами ( возникает электронная лавина). Несамостоятельный газовый разряд может переходить в самостоятельный газовый разряд при Ua = Uзажигания.

Электрический пробой газа - процесс перехода несамостоятельного газового разряда в самостоятельный.

Самостоятельный газовый разряд бывает 4-х типов:

1. тлеющий - при низких давлениях(до нескольких мм рт.ст.) -наблюдается в газосветных трубках и газовых лазерах. 2. искровой - при нормальном давлении и высокой напряженности электрического поля (молния - сила тока до сотен тысяч ампер). 3. коронный - при нормальном давлении в неоднородном электрическом поле ( на острие ). 4. дуговой - большая плотность тока, малое напряжение между электродами ( температура газа в канале дуги -5000-6000 градусов Цельсия); наблюдается в прожекторах, проекционной киноаппаратуре.

Эти разряды наблюдаются:

тлеющий - в лампах дневного света; искровой - в молниях; коронный - в электрофильтрах, при утечке энергии; дуговой - при сварке, в ртутных лампах.

37

Плазма

- это четвертое агрегатное состояние вещества с высокой степенью ионизации за счет столкновения молекул на большой скорости при высокой температуре; встречается в природе: ионосфера - слабо ионизированная плазма, Солнце - полностью ионизированная плазма; искусственная плазма - в газоразрядных лампах.

Плазма бывает:

Низкотемпературная - при температурах меньше 100 000К; высокотемпературная - при температурах больше 100 000К.

Основные свойства плазмы: - высокая электропроводность - сильное взаимодействие с внешними электрическими и магнитными полями.

При температуре любое вещество находится в состоянии плазмы.

Понятие о плазме

В газовом разряде возникает большое количество положительных ионов вследствие высокой эффективности ударной ионизации, причем концентрация ионов и электронов одинакова. Такая система из электронов и положительных ионов, распределенных с одинаковой концентрацией, называется плазмой. Термин «плазма» был введен в 1929 г. американскими физиками И. Ленгмюром и Л. Тонксом.

      Плазма, возникающая в газовом разряде, носит название газоразрядной; к ней относятся положительный столб тлеющего разряда, канал искрового и дугового разрядов.

      Положительный столб представляет собой так называемую неизотермическую плазму. В такой плазме средние кинетические энергии электронов, ионов и нейтральных молекул (атомов) различны.

      Вспомним связь между средней кинетической энергией молекул идеального газа (давление газа в тлеющем разряде невелико, поэтому его можно считать идеальным) и температурой

      Можно утверждать, что температуры компонентов плазмы различны. Так, электронная температура в тлеющем разряде в неоне при давлении 3 мм. рт. ст., порядка 4∙10 ⁴ К, а температура ионов и атомов 400 К, причем температура ионов несколько выше атомной температуры.

      Плазма, в которой выполняется равенство:   (где индексы «э», «и», «а» относятся к электронам, ионам, атомам) называется изотермической. Такая плазма имеет место при ионизации с помощью высокой температуры (дуга, горящая при атмосферном и выше давлении, искровой канал); например, в дуге сверхвысокого давления (до 1000 атм.) температура плазмы достигает 10000 К, температура плазмы при термоядерном взрыве – порядка нескольких десятков миллионов градусов, в установке «ТОКАМАК» для исследования термоядерных реакций – порядка 7∙10⁶ K.

      Плазма может возникнуть не только при прохождении тока через газ. Газ можно перевести в плазменное состояние и путем его нагревания до высоких температур. Внутренние области звезд (в том числе и солнце) находятся в плазменном состоянии, температуры которых достигают 10 ⁸ К

Кулоновское дальнодействующее взаимодействие заряженных частиц в плазме приводит к качественному своеобразию плазмы, позволяющему считать ее особым, четвертым агрегатным состоянием вещества.

      Важнейшие свойства плазмы:

•      сильное взаимодействие с внешними магнитными и электрическими полями, связанное с ее высокой электропроводностью;

•      специфическое коллективное взаимодействие частиц плазмы, осуществляющееся через усредненные электрические и магнитные поля, которые создают сами эти частицы;

•      благодаря коллективным взаимодействиям плазма ведет себя как своеобразная упругая среда, в которой легко возбуждаются и распространяются различного рода колебания и волны (например, ленгмюровские колебания плазмы);

•      во внешнем магнитном поле плазма ведет себя как диамагнитная среда;

•      удельная электрическая проводимость σ полностью ионизованной плазмы не зависит от плотности плазмы и увеличивается с ростом термодинамической температуры, пропорционально  . При Т ≥ 10⁷ К, σ столь велика, что плазму можно приближенно считать идеальным проводником ( ).

      Плазма – наиболее распространенное состояние вещества во Вселенной. Солнце и другие звезды состоят из полностью ионизованной высокотемпературной плазмы. Основной источник энергии излучения звезд – термодинамические реакции синтеза, протекающие в недрах звезд при огромных температурах. Холодные туманности и межзвездная среда также находятся в плазменном состоянии. Они представляют собой низкотемпературную плазму, ионизация которой происходит, главным образом, путем фотоионизации под действием ультрафиолетового излучения звезд. В околоземном пространстве слабоионизованная плазма находится в радиационных поясах и ионосфере Земли. С процессами, происходящими в этой плазме, связаны такие явления, как магнитные бури, нарушения дальней радиосвязи и полярные сияния.

      Низкотемпературная газоразрядная плазма, образующаяся при тлеющем, искровом и дуговом разрядах в газах, широко используется в различных источниках света, в газовых лазерах, для сварки, резки, плавки и других видов обработки металлов.

      Основной практический интерес к физике плазмы связан с решением проблемы управляемого термоядерного синтеза – процесс слияния легких атомных ядер при высоких температурах в управляемых условиях. Энергетический выход реактора составляет 10⁵ кВт/м³ в реакции

)

при плотности плазмы 10⁵ см^-3 и температуре 10⁸ К.

38

Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди исследований различных электрических явлений особое место занимают исследования электромагнитных колебаний. При колебательном процессе электрические физические величины (заряды, токи) периодически изменяются и процесс сопровождается взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний применяется колебательный контур — цепь, которая состоит из последовательно включенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L, и конденсатора емкостью С.  Исследуем последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, у которого сопротивление пренебрежимо мало (R≈0). Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Следовательно, в начальный момент времени t=0 (рис. 1а) между обкладками конденсатора появится электрическое поле, энергия которого равна Q2/(2C) . Если конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то он начнет разряжаться, и в контуре начнет течь возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет падать, а энергия магнитного поля катушки (она равна (1/2)LI2 ) - увеличиваться.  Так как R≈0, то, используя закон сохранения энергии, полная энергия    поскольку полная энергия на нагревание не тратится. Поэтому в момент t=(1/4)T, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной нулю, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает максимального значения (рис. 1б). Далее, начиная с этого момента ток в контуре будет уменьшаться; значит, начнет уменьшаться магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (по правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Далее, начнет перезаряжаться конденсатор, появится электрическое поле, которое будет стремиться ослабить ток, который в конце концов станет равным нулю, а заряд на обкладках конденсатора станет максимальным (рис. 1в). Далее те же процессы будут протекать в обратном направлении (рис. 1г) и к моменту времени t=Т система придет в первоначальное состояние (рис. 1а). После этого рассмотренный цикл разрядки и зарядки конденсатора будет повторяться. Если бы в контуре потерь энергии не было, то совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, сила тока I, текущего через катушку индуктивности и напряжение U на конденсаторе . Значит, в контуре появляются электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.  С электрическими колебаниями в колебательном контуре можно провести аналогию с механическими колебаниями маятника (рис. 1 внизу), которые сопровождаются взаимными превращениями кинетической и потенциальной энергий маятника (на рисунке Е - кинетическая энергия, П - потенцияльная). В данном случае энергия электрического поля конденсатора Q2/(2C) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L аналогична массе m, а сопротивление контура — силе трения, которая действуюет на маятник.  По закону Ома, для контура, который содержит резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L, и конденсатор емкостью С    где IR—напряжение на резисторе, UC = Q/C - напряжение на конденсаторе, ξs = -L(dI/dt) – э.д.с. самоиндукции, которая возникает в катушке при протекании в ней переменного тока (ξs – единственная э.д.с. в контуре). Значит,   (1)  Разделив формулу (1) на L и подставив   и   получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:   (2)  В рассматриваемом колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, значит колебания в контуре представляют собой свободныеколебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими. Тогда из (2) найдем дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:    Из формулы (1) следует, что заряд Q гармонически колеблеься по закону   (3)  где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ω0, которая называется собственной частотой контура, т. е.   (4)  и периодом   (5)  Выражение (5) впервые было получено У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре   (6)  где Im = ω0Qm — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе равно   (7)  где Um=Qm/C - амплитуда напряжения.  Из формул (3) и (6) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на π/2, т.е., когда ток равен максимальному значению, заряд (а также и напряжение (7)) обращается в нуль, и наоборот.

39

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают. Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также потерь, связанных с выделением теплоты, и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.  Вид закономерностей затухания колебаний задается свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, параметры которых, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса остаются неизменными. Например, линейными системами являются пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда выполняется закон Гука), колебательный контур, у которого сопротивление, индуктивность и емкость не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются аналогичными линейными дифференциальными уравнениями, что дает основания подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также моделировать их, в том числе и на ЭВМ.  Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как   (1)  где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.  Решение уравнения (1) запишем в виде   (2)  где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем   (3)  Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:   (4)  (если (ω02 - σ2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение   , у которого решение будет функция   . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω02 >> σ2 )   (5)  где   (6)  — амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.  Рис.1 Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен    Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение    называется декрементом затухания, а его логарифм   (7)  — логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.  Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна   (8)  (так как затухание мало (ω02 >> σ2 ), то T принято равным Т0).  Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации.  Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).  1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F= -kx, сила трения прямо пропорциональна скорости, т. е.    где r — коэффициент сопротивления; знак минус говорит о том, что сила трения и скорость противоположно направлены.  При этих условиях закон движения маятника   (9)  Используя формулу   и считая, что коэффициент затухания равен   (10)  получим полностью идентичное уравнению (1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:    Из выражений (1) и (5) следует, что колебания маятника удовлетворяют уравнению    где частота   (см. (4)).  Добротность пружинного маятника, используя (8) и (10),   .  2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R≠0) , как известно    Учитывая формулу собственной частоты колебательного контура и принимая коэффициент затухания равным   (11)  дифференциальное уравнение колебаний заряда Q (см. раздел "Свободные гармонические колебания в колебательном контуре") можно записать в аналогичном уравнению (1) виде    Из зависимостей (1) и (5) следует, что колебания заряда подчиняются закону   (12)  с частотой, используя (4), равной   (13)  меньшей собственной частоты контура ω0 . При R=0 формула (13) становится формулой (4).  Логарифмческий декремент затухания задается формулой (7), а добротность колебательного контура (8)   (14)  Отметим в заключение, что при увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебании увеличивается и при δ=ω0равен бесконечности, т. е. движение перестает быть периодическим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю, когда t→∞. Данный процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.  Значительный интерес для техники представляет возможность сохранять колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять каким-либо образом потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко используются так называемыеавтоколебания — незатухающие колебания, которые поддерживаются в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний задаются самой системой.  Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, которые происходят без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. следующий раздел), которые происходят под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).  Примером автоколебательной системы являются часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, которая передавается при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также появляются вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй.  Автоколебательными системами являются также паровые турбины, двигатели внутреннего сгорания, ламповый генератор и т. д.

39