§ 3 Билинейная форма. Связь с квадратичной формой. Приведение симметричной билинейной формы к каноническому виду

Говорят, что в линейном пространстве над числовым полем определена билинейная форма , если любым из ставится в соответствие определенное действительное число , причем функция является линейной по каждому аргументу.

Если в линейном пространстве фиксирован базис и , ( ), то билинейная форма имеет вид , где . Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .

Если в линейном пространстве фиксированы два базиса , и , то закон преобразования матрицы билинейной формы записывается в виде (84)

Билинейная форма называется симметричной, если для любых из .

Теорема 6 В линейном пространстве билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица симметрична.

Пусть задана билинейная форма в линейном пространстве . Рассмотрим функцию одного векторного аргумента: , . Если положить , то , . Из последней записи видно, что является квадратичной формой от переменных , которые интерпретируются как координаты элемента в базисе , т.е. . Каждой билинейной форме соответствует одна квадратичная форма. Каждую же квадратичную форму можно получить из бесконечного числа билинейных форм, среди которых имеется единственная симметричная билинейная форма.

Теорема 7 Для любой симметричной билинейной формы существует канонический базис , в котором эта форма имеет канонический вид , где , , .

Пусть симметричная билинейная форма в базисе имеет матрицу . Тогда соответствующая ей квадратичная форма имеет ту же матрицу . Для квадратичной формы существует линейное невырожденное преобразование , которое приводит эту квадратичную форму к каноническому виду . Канонический базис и канонический вид билинейной формы определяются соотношениями и .

§ 4 Применение теории квадратичных форм к исследованию алгебраических уравнений второй степени

Рассмотренный выше метод ортогонального преобразования, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, эффективно применяется при исследовании алгебраических уравнений второй степени с переменными:

, , (85)

где - квадратичная форма.

Рассмотрим некоторое евклидово пространство с ортонормированным базисом . Переменные в уравнении (85) будем интерпретировать как координаты элементов некоторого множества из в ортонормированном базисе . Пусть - множество элементов , полученное из сдвигом на вектор – , т.е. , где , , - фиксированный элемент . Поэтому координаты элементов и в ортонормированном базисе связаны соотношениями , . Тогда уравнение (85) можно рассматривать как алгебраическое уравнение второй степени относительно координат элементов из . В всегда можно указать новый базис , в котором квадратичная форма принимает канонический вид, и такое множество , что уравнение (85) , рассматриваемое относительно координат элементов в базисе , имеет наиболее простой вид. Чтобы сделать это, надо, во-первых, произвести ортогональное преобразование координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и, во-вторых, в преобразованном уравнении освободиться от линейных членов, выделяя полные квадраты.