Лекции / LekNG_u1

Біріна А.Д., Черніков О.В., Сердюк В.М. Конспект лекцій з нарисної геометрії для студентів технічних спеціальностей.

18лекцій.

Вконспекті стисло викладено основні розділи курсу: проекційний метод зображення геометричних елементів, позиційні та метричні задачі, способи перетворення креслень, аксонометричні проекції. По всіх темах надано приклади вирішення основних найтиповіших задач. В кінці кожної лекції надані питання для контролю знань (самоконтролю) та вправи для самостійної роботи.

Посібник призначений для студентів технічних спеціальностей.

Розділ 3. МЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ГЕОМЕ-

ПРИЙНЯТІ ПОЗНАЧЕННЯ

1. Точки позначаються великими літерами латинського алфавіту:

A, B, C, D,...

2.Прямі і криві лінії позначаються малими літерами латинського алфавіту:

a, b, c, d, m, n, k, t,...

Лінії рівня позначаються літерами: горизонталі — h; фронталі — f; профільні прямі — p.

3.Площини і поверхні позначаються великими літерами грецького алфавіту:

Γ, , Σ, Φ, Ω,...

Щоб відзначити засіб завдання площини, поруч із літерним позначенням площини в дужках пишуться позначення тих елементів, якими вона задана, наприклад,

Σ(A, B, C).

4.Для позначення кутів застосовують малі грецькі літери:

α, β, γ,... .

Прямий кут позначають дугою з точкою усередині сектора.

5.Площини проекцій позначають літерою П з додаванням порядкового індексу 1, 2, 3, 4, 5,... , наприклад:

П1, П2, П3...

6.Проекції точок, ліній і площин позначають відповідними літерами з додаванням порядкового індексу 1, 2, 3,... відповідної площини проекцій, на якій їх отримано:

на площині П1 — А1; b1; Σ1;

на площині П2 — А2; b2; Σ2; і т.д. 7. Позначення основних операцій:

• збіг геометричних фігур позначається знаком ≡, наприклад: m ≡ n або A1 ≡ B1

•взаємна приналежність (інцидентність) фігур або їхніх елементів позначається знаком або (знак включення). Наприклад, належність точки М до площини Σ позначається

МΣ або Σ М

• перетин двох фігур позначається знаком ∩, наприклад: m ∩ n; a ∩ Σ

•з'єднання двохнезбіжних точокпозначається знаком , наприклад,

АB

•результат геометричної побудови позначається знаком =, наприклад,

М= a ∩ Σ

це означає, що М є точкою перетину прямої а з площиною Σ;

• паралельність прямих і площин позначається знаком ||:

a ||b; c ||Σ; ||Σ

• перпендикулярність прямих і площин позначається знаком : n Σ, Σ

•мимобіжні (перехресні) прямі позначаються знаком . ;

•сполученню «і» відповідає знак ;

•сполученню «або» – знак ;

•логічному слідству – знак . Наприклад, вираз

(a || c ) ( b || c) a || b

означає: якщо дві прямі паралельні до третьої, то вони паралельні між собою;

•квантор спільності – знак , читається: для всякого, для будьякого. Наприклад, a A, означає: будь-яка пряма, яка проходить через точку А.

Лекція №1. СПОСОБИ ВІДОБРАЖЕНЬ ГРАФІЧНИХ ОБ'ЄКТІВ. КОМПЛЕКСНИЙ КРЕСЛЕНИК ТОЧКИ

Метою нарисної геометрії є вивчення графічного відображення на площині просторових форм об'єктів та їх взаємовідношень, розв’язання за плоскими зображеннями позиційних та метричних задач, а також методів геометричного моделювання просторових об’єктів.

Цей процес відбувається за допомогою певних правил метода проекціювання – основного метода нарисної геометрії. Зображення об'єкта, яке отримано за допомогою операції проекціювання, зветься проекцією об'єкта. А таке проекційне зображення, за яким можна відтворити об'єкт, зветься креслеником. Без вміння читати, розуміти кресленик не можна створити будь-яких машин чи агрегатів, зокрема, двигунів, автомобілів, дорожньо-будівельної техніки, тощо. Аби навчитися цьому треба розвивати здібність просторового уявлення, без котрого неможлива ніяка інженерна творчість. Саме цьому якнайкраще сприяє вивчення дисципліни "Нарисна геометрія".

План лекції

1.Центральні проекції

2.Паралельні проекції

3.Ортогональні проекції. Метод Монжа

4.Комплексний кресленик точки

5.Основні положення лекції

6.Контрольні питання

7.Вправи

Центральні проекції

Розглянемо центральне проекціювання.

Нехай маємо у просторі площину П', яку будемо називати площиною проекцій (рис. 1). Візьмемо яку-небудь точку S у просторі. Її будемо називати центром проекцій. Щоб спроекціювати точку А (оригінал) на площину П', проведемо через точку А і центр

проекцій S пряму. Така пряма має назву проекціююча пряма (промінь). Знайдемо точку перетину прямої SА з площиною проекцій П'. Позначимо її А' і будемо називати

центральною проекцією даної точки

А на площину П'. Так само можна отримати проекції А', В',С' і D' точок

А, В,С і D.

Бачимо, що проекцією точки є точка, проекцією відрізка – відрізок. В окремому разі, якщо відрізок буде збігатися з напрямком проекціюючого променя, то його проекція буде виро-

джуватися в точку (уявіть собі відрізок АС на рис. 1.1). Запишемо алгоритм центрального проекціювання: 1) A S = АS ;

льною проекцією точки А (оригіналу) на площину П'. Очевидно, що проекцією відрізка АВ є відрізок А'В' і якщо точка D належить

відрізкові АВ – її проекція D' теж належить проекції відрізка А'В'. На рис. 1.2 наведено так зване косокутне проекціювання, коли

кут проекціюючих прямих з площиною проекцій не дорівнює 90º. Якщо цей кут складає 90º, таке проекціювання зветься ортогональ-

ним або прямокутним (рис. 1.3).

Ортогональні проекції. Метод Монжа

Розглянуті вище методи дозволяють вирішувати пряму задачу, а саме: за даними об'єктами будувати їх проекції. Але на практиці дуже важливе значення має зворотна задача: за даними проекціями встановити форму, розміри і розташування об'єкта у просторі. Очевидно, що тільки за одними такими зображеннями неможливо визначити натуральний об'єкт, тобто вони не мають властивості "зворотності". Так, наприклад, по проекціях А'В' відрізків АВ на рис. 1.1 та рис. 1.2 неможливо судити про розміри відрізків, що проекціюються. Їх довжина може змінюватись в залежності від розташування точок А та В на проекціюючих променях.

Аби уникнути цих недоліків, французьким вченим Гаспаром Монжем був запропонований метод ортогонального (прямокутного) проекціювання на дві площини проекцій, які потім суміщаються обертанням навколо лінії їх перетину. Цей метод залишається основним методом створення технічних креслеників.

Дві проекції повністю визначають положення точки у просторі. Однак в практиці для зображення складних конструкцій виникає необхідність в допоміжних проекціях. Враховуючи це, ми розглянемо проекціювання точки на 3 площини проекцій. Просторову модель дано на рис. 1.4.

Візьмемо в просторі три взаємно перпендикулярні площини проекцій П1, П2, П3. і точку А – оригінал (рис. 1.4, а, б). Будемо називати:

площину П1 – горизонтальною площиною проекцій, проекцію фігури – вид зверху;

площину П2 – фронтальною площиною проекцій, проекцію фігури – вид спереду);

площину П3 – профільною площиною проекцій, проекцію фігури – вид зліва).

Рис.1 4