Лекции / LekNG_u1

Лінії перетину площин звуться осями проекцій. Вісь x називають віссю абсцис, вісь y – віссю ординат і вісь z – віссю аплікат. Точка їх перетину O приймається за початок координат. Оскільки вісь x належить площинам П1 і П2, її часто позначають x12. Так само

і осі y13 (y31)та z23.

Вісь x поділяє площину П1 на передню і задню півплощини, а площину П2 на верхню і нижню. Площини П1 та П2 поділяють простір на чотири частини (квадранти). Перший квадрант обмежений передньою та верхньою півплощинами; другий – верхньою та задньою півплощинами; третій – задньою та нижньою; четвертий – нижньою та передньою.

Три площини П1, П2 і П3 поділяють простір на вісім частин (октантів). Нумерація октантів ліворуч профільної площини збігається з нумерацією квадрантів. Праворуч площини П3 розташовані октанти п'ятий, шостий, сьомий, восьмий. Порядок нумерації такий, як у квадрантів.

Положення точки А в просторі визначається трьома координатами (X, Y, Z), що показують розміри відстаней, на які точка А віддалена від площин проекцій.

Проведемо з точки А перпендикулярні прямі (проекціюючі промені) до площин проекцій: AA1, AA2, AA3 (Рис.1.4, а). Основи цих перпендикулярів називаються ортогональними проекціями точки А, як-от:

А1 – горизонтальна проекція точки А;

А2 – фронтальна проекція точки А; А3 – профільна проекція точки А.

Відстань від горизонтальної площини АА1 (z) називають висотою точки А, відстань АА2 (y) називають глибиною точки А, відстань АА3 (x) – широтою точки А (Рис.1.4, б).

Комплексний кресленик точки

Щоб одержати плоский кресленик, обертаємо площини П1 і П3 навколо відповідних осей x і z до суміщення їх із площиною П2 Напрямок обертання площини П1 навколо осі x зазначено стрілками на рис.1.4, в. При цьому передня півплощина П1 разом із проекцією А1 сполучиться з нижньою півплощиною П2 (рис. 1.4, г). Обидві проекції А1 і А2 лежать на одному перпендикулярі до осі проекцій x.

Напрямок обертання площини П3 навколо осі z зазначено стрілками на рис.1.4, д. При цьому передня півплощина П3 разом із проекцією А3 сполучиться з правою півплощиною П2 (рис. 1.4, е). Проекції А3 і А2 лежать на одному перпендикулярі до осі проекцій z.

В результаті одержимо плоский, так званий комплексний кресленик точки А, або епюр (рис. 3), що складається з трьох проекцій А1, А2, і А3 точки А. Прямі А1А2 і А2А3 називаються лініями зв'язку. Ці лінії завжди перпендикулярні до відповідних осей проекцій. Умовний запис завдання точки виглядає так: А (X, Y, Z).

Оскільки площини взагалі не мають меж, то на комплексному кресленику площини проекцій не обмежують і не позначають. Щодо просторової моделі, то для наочності на рис.1.4. їх показано умовно обмеженими.

Приклад. Побудувати комплексне креслення точки А (30, 20, 40) (рис. 1.5).

Відкладаємо від початку координат (від точки O) на осі x значення x = 30 мм і проводимо вертикальну лінію зв'язку. На лінії зв'язку в напрямку осі y відкладаємо значення y = 20 мм і визначаємо горизонта-

льну проекцію точки А (А1). На лінії зв'язку

від осі x в напрямку осі z відкладаємо зна- Рис.1 5 чення z = 40 мм і визначаємо фронтальну проекцію точки А (А2).

Для побудови профільної проекції точки А проводимо через проекцію А2 горизонтальну лінію зв'язку й у напрямку осі y від осі z відкладаємо значення y = 20 мм, – одержуємо проекцію А3.

Оскільки дві проекції точки визначають її положення в просторі, то третя проекція стає необхідною в тих випадках, коли проекційне креслення досить складне, і потребуються додаткові дані для уточнення його форми.

Основні положення лекції

1. Проекцією зветься зображення об'єкта, що отримане в результаті перетину проекціюючих променів з площиною проекцій. Основні види проекцій – центральні та паралельні. Проекцією точки є точка. Проекцією прямої здебільшого є пряма, але якщо пряма збігається з напрямком проекціювання, то її проекцією стає точка.

2. Відмітимо ще деякі властивості, характерні для паралельного проекціювання, а саме:

– прямі, які є паралельними у просторі (в загальному випадку), проекціюються в паралельні прямі на площині проекцій;

– відношення відрізків, що лежать на паралельних прямих (або на одній прямій) дорівнює відношенню проекцій цих відрізків

(рис. 1.2):

AD = A' D'

DB D' B'

3. Одна проекція не визначає геометричну форму та положення оригінала. Для цього потрібно мати дві або більше проекцій. Зображення точки, складене з комплекса зв'язаних між собою її прямокутних проекцій, називається комплексним креслеником цієї точки.

Контрольні питання

4. Який метод нарисної геометрії є основним і в чому він поля-

гає?

5.Які основні види проекціювання?

6.Що таке комплексний кресленик?

7.Що таке лінії зв'язку і як їх проводять?

8.Скільки проекцій достатньо для визначення точки у просторі?

9.Як визначити висоту і глибину точки за її комплексним креслеником?

10.В якій чверті простору знаходиться точка, якщо її фронтальна проекція на кресленику розташована нижче осі x, а горизонтальна – вище осі x?.

Вправи

1.Побудувати комплексний кресленик точок за їх координа-

тами: A (45, 30, 35); B (30,30,0); C (60,0,0); D (75,0,30).

2.Побудувати три проекції A1, A2, A3, точки A, якщо вона має широту 40 мм, глибину 30 мм, і висоту 20 мм.

3.Побудувати на попередньому кресленику проекції точки В, якщо вона розташована на 15 мм вище за точку А, проекції точки С, якщо вона розташована на 10 мм ближче до спостерігача, ніж точка А.