28.Гипотеза p≠np и ее обоснование.

Мы уже знаем, что P NP. Как показал Ладнер, если P≠ NP , то имеется еще целое множество языков в NP, для которых нет полиномиального алгоритма, но сами эти языки не являются полными в классе NP. Сводимость связана с 2-мя важными моментами:

1.задача, к которой можно свести полиномиально любую задачу из данного класса называется полной в данном классе( Кук доказал, что задача выполнимость является полной в классе NP);

2. если выполнимость свести к какой-либо задаче другой из класса NP, то другая задача автоматически становится полной в классе NP.

В качестве кандидатов на такие языки выступают следующие две известные задачи.

ЗАДАЧА ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ. Пусть даны два графа. Спрашивается, можно ли так пронумеровать их вершины, что их матрицы инциденций полностью совпадут (читай – один граф можно целиком наложить на другой и наоборот).

ПРОБЛЕМА ПРОВЕРКИ ПРОСТОТЫ ЧИСЛА. Эта проблема имеет важное значение для криптографии (шифрования). Известные алгоритмы проверки чисел на простоту являются переборными.

Пусть L какой-нибудь произвольный язык из NP. Под дополнением языка L понимаем язык co-L, такой что

co-L  NP

если произвольное слово (задача) y принадлежит L, то у не принадлежит co-L. Наоборот, если y принадлежит co-L, то у не принадлежит L.

29.Дерево решений. Эвристическая оценочная функция.

Идея, лежащая в основе большинства эвристических алгоритмов, состоит в том, чтобы оценивать с помощью эвристической информации перспективность нераскрытых вершин пространства состояний (с точки зрения достижения цели), и выбирать для продолжения поиска наиболее перспективную вершину. Самый обычный способ использования эвристической информации – введение так называемой эвристической оценочной функции. Эта функция определяется на множестве вершин пространства состояний и принимает числовые значения. Значение эвристической оценочной функции Est(V) может интерпретироваться как перспективность раскрытия вершины (иногда – как вероятность ее расположения на решающем пути). Обычно считают, что меньшее значение Est(V) соответствует более перспективной вершине, и вершины раскрываются в порядке увеличения (точнее, неубывания) значения оценочной функции.

Алгоритм эвристического перебора

Последовательность шагов формулируемого ниже базового алгоритма эвристического (упорядоченного)  перебора похожа на последовательность шагов алгоритмов слепого перебора, отличие заключается в использовании эвристической оценочной функции. После порождения нового состояния-вершины производится его оценивание (т.е. вычисление значения этой функции), и списки открытых и закрытых вершин должны содержать кроме самих вершин их оценки, которые и используются для упорядочения поиска.

Для раскрытия каждый раз в цикле выбирается наиболее перспективная концевая вершина дерева перебора. Также как и в случае алгоритмов слепого поиска множество порождаемых алгоритмом вершин и указателей образует дерево, в листьях которого находятся нераскрытые вершины.

Метод ветвей и границ (англ. branch and bound) — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.

Метод ветвей и границ был впервые предложен в 1960 году Ленд и Дойг[1] для решения задач целочисленного программирования.

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.

Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти Дерево — это связный ациклический граф (то есть граф, не содержащий циклов, между любой парой вершин которого существует ровно один путь).

Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.

Формально дерево определяется как конечное множество T одного или более узлов со следующими свойствами:

существует один корень дерева T

остальные узлы (за исключением корня) распределены среди m\geq 0 непересекающихся множеств T1,...,Tm, и каждое из множеств является деревом; деревья T1,...,Tm называются поддеревьями данного корня T