2.5. Вычеты и их применения.

Вычетом функции f(z) в точке z₀ называется интеграл взятый в положительном направлении по окружности L с центром в точке z₀ , лежащей в области аналитичности функции.

Теорема КОШИ

Если функция аналитична в области D и непрерывна в области , ограниченной L за исключением конечного числа особых точек, то справедлива формула:

3. Операционное исчисление

3.1. Преобразование Лапласа. Основные теоремы операционного исчисления: единственность и линейность преобразования Лапласа;

теоремы подобия, смещения изображения и запаздывания оригинала,

дифференцирования изображения и оригинала, интегрирования изображения и

оригинала. Свертка функций, формула Дюамеля. Теоремы разложения.

Преобразованием Лапласа называется переход от оригиналов к изображениям.

(Теорема об единственности): если функция F(p) служит изображением для двух оригиналов, то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках в которых они непрерывны.

Основные теоремы операционного исчисления:

1.Линейность:

2.Подобие

3.Смещение изображения

4.Запаздывание оригинала.

5.Дифференцирование оригинала

6.Дифференцирование изображения

7.Интегрирование изображения

8.Интегрирование оригинала

9.Свёртка

10.Формула дюамеля.

Теоремы разложения

1 Если функция F(p) в окрестности точки р может быть разложена в ряд Лорана:

+

то оригинал

2 Если – правильная дробь , знаменатель В(р) которой имеет лишь простые корни, то оригинал:

3.2. Таблица изображений основных элементарных функций.

Таблица изображений.

3.3. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и

систем дифференциальных уравнений.

Для решения дифференциального уравнения необходимо вместо у перейти в пространство изображений У воспользоваться теоремой дифференцирования оригинала. Потом решить полученное уравнение относительно р и обратно перейти в пространство оригиналов.

Для решения систем дифференциальных уравнений необходимо в каждом уравнении системы перейти в пространство изображений, решить полученную систему любым известным методом относительно р и обратно перейти в пространство оригиналов.

4. Линейное программирование. Вариационное исчисление и оптимальное управление.

Классификация оптимизационных задач: задачи математического программирования, вариационного исчисления, оптимального управления. Задача линейного программирования. Различные формы записи задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод. Понятие двойственности. Построение двойственных задач.

Линейное программирование является целевая функция и ограничения.

пример: S₁=100; S₂=60; S₃=180-запасы сырья;

P₁={2S₁;S₂;S₃}; P₂={S₁;S₂;4S₃}- производство продукции;

x₁ и x₂ – кол-во продукции; построим математическую модель L=30x₁+20x₂ → max 2х₁+х₂≤100

х₁+х₂≤60

х₁+4х₂≤180

х₁,х₂≥0

В данном случае целевая функция и ограничители явл. линейными ф-циями поэтому построение задачи является линейным программированием. Многообразие подобных задач приводит к построению общей задачи. Необходимо найти х₁, х₂…х_n удовлетворяющей системе ограничений а₁х₁+а₂х₂+…+a_1nx_n≤b₁

а₂х₁+а₂х₂+…+a_2nx_n≤b₂

а_mх₁+а_mх₂+…+a_mnx_n≤b_n

х₁,х₂,…,x_n≥0

(*)

L= C₁х₁+C₂х₂+…+C_nx_n

Виды задач линейного программирования.

1. Система ограничений (*) задачи лин. программ. называются стандартной.

2. если (*) содержит только равенство, то задача называется канонической.

3. если (*) содержит как равенство, так и неравенство, то задача называется задачей общего вида.

Любой набор х₁,х₂,…,x_n удовл. (*) и усл. неотриц. называется допустимым планом. Множество допустимых планов называется областью допустимых значений решений. Допустимый план при котором целевая функция имеет экстремум называется оптимальным решением. Любую задачу Л.П. общего вида можно привести к канонической путем введения дополнительных балансов переменных удовлетворяющих условию отрицания.

пример: 2х₁-3х₂+х₃≤4

3х₁+5х₂-2х₃≥3

х₁+4х₂-х₃=0

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

2х₁-3х₂+х₃+х₄=4

3х₁+5х₂-2х₃+х₅=3

х₁+4х₂-х₃=5

Графический метод решения задачи л.п.

Пусть задана стандартная задача л.п.

L= C₁х₁+C₂х₂→ max –целевая функция (1)

а_i1х₁+а_i2х₂≤b_i –система ограничений(2)

х₁,х₂≥0 – условие неотриц. (3)

1.Используя (2) и (3) строится обл. допустимых решений для этого все неравенства обращают в равенство, а исходные знаки неравенства показывают штриховкой на графике.

2. строится линия уровня L=0.

3.строится градиент целевой ф-ции.

4. мысленно перемещаем градиент вдоль линии градиента.

Замечание 1. если ОДР пустое множество тогда задача не имеет решения.

Замечание 1. если ОДР выпуклый многоугольник можно найти оптимальное решение.

Замечание 1. если ОДР выпуклый неограниченный многоугольник можно найти либо на макс, либо на мин.

Симплекс-метод.

Применяется для решения канонических задач л.п., системы ограничений в виде неравенств.

Каждая вершина ОДР явл. общим решением соответствующей системы линейных уравнений. Найти общее решение и выбрать среди них оптимальное решение.

Симплекс-метод заключается в целенаправленном переборе вершин ОДР и выборе оптимального.

1. Привести задачу к канонической форме

2. Найти начальные базисные решения.

3. Перейти от одного базисного решения к уравнению в котором целевая функция ближе оптимальному.

4. определить критерии завершения решения задачи.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+a_1nx_n=b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+a_2nx_n=b₂

а_m1х₁+а_m2х₂+…+a_mnx_n=b_n

(5)

х₁,х₂,…,x_n≥0(6)

L= C₁х₁+C₂х₂+…+C_nx_n(4)

Получение базисного решения.

1. нахождение решения системы (5) при усл.(6).

пример:

L=30x₁+20x₂→max 2х₁+х₂≤100

х₁+х₂≤60

х₁+4х₂≤180

х₁,х₂≥0

2х₁+х₂+х₃=100

х₁+х₂+х₄=60

х₁+4х₂+х₅=180

х₁,х₂,х₃,х₄,х₅≥0

L=30х₁+20х₂+0х₃+0х₄+0x₅→mх

строка коф-тов

С=(30;20;0;0;0)

						L	с.о.
х3	2	1	1	0	0	100	50
х4	1	1	0	1	0	60	60
х5	1	4	0	0	1	180	180

Х₁=(0;0;100;60;180)

L₁=0

	0	-5	15	0	0	L	с.о
х1	1	½	-1/2	0	0	50	100
х4	0	½	-1/2	1	0	10	20
х5	0	7/2	-1/2	0	1	130	180

Х₂=(50;0;0;10;130)

L₂=1500

		0	10	10	0	L
х1		0			0	40
х2	0	1	-1	2	0	20
х5		0			1	60

Х₃=(40;20;0;0;60)

L₃=1600

Двойственность задачи линейного программирования.

Двойственность является центральным понятием в теории л.п., двойственность состоит в том, что в каждой исходной заданной л.п. в которой целевая функция исследуется на максимум можно поставить в соответствии двойственную ей задачу, целевая функция которой будет исследовать на минимум.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+a_1nx_n≤b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+a_2nx_n≤b₂

а_m1х₁+а_m2х₂+…+a_mnx_n≤b_n

(2)

х₁,х₂,…,x_n≥0(3)

L=C₁х₁+C₂х₂+…+C_nx_n→max (1)

двойственная ей задача запишется в виде:

а₁₁y₁+а₁₂y₂+…+a_1ny_n≥с₁

а₂₁y₁+а₂₂y₂+…+a_2ny_n≥с₂

а_m1y₁+а_m2y₂+…+a_mny_n≤с_n

(5)

y₁,y₂,…,y_n≥0(6)

z=b₁y₁+b₂y₂+…+b_ny_n→min (4)

Основное неравенство теории двойственности для любых допустимых решений.

X=( х₁,х₂,…,x_n) и

Y=( y₁,y₂,…,y_n) L(X) ≤Z(Y)

Теорема (достаточное условие оптимальности), если

X*=( х*₁,х*₂,…,x*_n)

Y*=( y*₁,y*₂,…,y*_n)

L(X*) ≤Z(Y*)

Первая теорема двойственности.

если одна из взаимодвойственных задач имеет оптимальное решение то вторая задача также имеет оптимальное решение и при этом значение целевых функций совпадает.

Lmax=Zmin

Вторая теорема двойственности.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов, при соответствующим элементов линейной функции исходной задачи выраженной через небазисные компоненты ее оптимальное решение.