1.5. Ряд Фурье. Условия Дирихле разложимости в ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье на интервалах , разложение четных и нечетных функций.

Ряд Фурье используют для изучения периодических процессов.

Условие Дирихле при Т=2п:

пусть найдено разложение функции в ряд фурье, для того чтобы она могла сходиться в исходное состояние она должна выполнять следующие условия:

На интервале

1. Должна быть кусочно непрерывна(непрерывна или иметь конечное число точек разрыва первого рода)

2.Кусочно монотонна(монотонна или иметь конечное число интервалов на которых она монотонна)

Тогда ряд сходится на этом интервале, и мы получим:

1.В точках непрерывности сумма ряда будет равна исходной функции

2.В точках разрыва сумма будет равна среднему арифметическому от пределов слева и справа

3.Значение суммы на концах отрезка будет равно

Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то она имеет вид:

Для функций с периодом T=2L

Для чётных функций:

Для нечётных функций:

2. Теория функций комплексного переменного

2.1. Понятие функций комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного. Понятие предела, непрерывности.

Понятие ф-ций комплексного переменного.

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа. Числа множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа

w= и + iv множества Е — точками комплексной плоскости w. Если каждому числу (точке) z D по некоторому правилу по­ставлено в соответствие определенное число (точка) w Е, то говорят, что на множестве определена однозначная функция комп­лексного переменного w = f(z), отображающая множество D в мно­жество Е.

Основные элементарные функции комплексного переменного.

Показательная функция

Показательная функция w = e^z определяется формулой w = e^z = e^x (cos у + i sin у).

Показательная функция w = e^z обладает «известным» свойством:

Действительно, по правилу умножения комплексных чисел, имеем:

Положив в равенстве w = e^z = e^x (cos у + i sin у). х = 0, у = , получим классиче­скую формулу Эйлера . С ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа в более компактной форме , называемой показательной формой комплексного числа.

Показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом 2 .

Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной:, число w называется логарифмом числа , если e^w = z, обозначается w = Ln z. Так как значения показательной функции e^w = z всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Ln z определена на всей плоскости z, кроме точки z = 0. Положив , получим, согласно определению

логарифмической функции, , или . Отсюда

имеем:

Следовательно,

Степенная функция

Если п — натуральное число, то степенная функция определяется равенством . Функция однознач­ная. Если , то в этом случае

Где к = 0,1,2_,...,q-1.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = х + iу определяются равенствами

При действительных z эти определения приводят к тригонометриче­ским функциям действительного переменного. Так, при z = х (у = 0);

Отметим, что тригонометрические функции sin z и cos z в комп­лексной плоскости z неограничены:

Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Понятие предела

Число Wo называется пределом функции w = f(z) в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Записывают:

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од­ного (или нескольких) действительного переменного остаются справед­ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции f₁(z)и f₂(z) имеют пределы в точке z₀ D, то

Понятие непрерывности

Пусть функция w = f(z) определена в точке z = и некоторой ее окрестности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z₀, если

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функ­ция f(x) непрерывна в точке z₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в ка­ждой точке этой области.