1.4. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций в степенной ряд.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям: табулирование функций,

вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

Ряд Тейлора:

Для любой функции f(x), опре­деленной в окрестности точки х₀ и имеющей в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

Где остаточный член в форме Лагранжа.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бес­конечно дифференцируема) в окрестности точки x₀ и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (x — x₀), называемое рядом Тейлора:

Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т. е. чтобы .

Теорема: Если модули всех производных функций f(x) ограни­чены в окрестности точки х₀ одним и тем же числом М > 0, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т. е. имеет место разложение.

Разложения основных элементарных функций в степенной ряд.

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:

а) найти производные f’(x), f’’(x),…, f⁽ⁿ⁾(x),…;

б) вычислить значения производных в точке x₀ = 0;

в) написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

Основные разложения:

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям:

Табулирование функций:

Табулирование функции - это вычисление значений функции при изменении аргумента от некоторого начального значения до некоторого конечного значения с определенным шагом. Именно так составляются таблицы значений функций, отсюда и название - табулирование. Необходимость в табулировании возникает при решении достаточно широкого круга задач. Например, при численном решении нелинейных уравнений f(x) = 0, путем табулирования можно отделить корни уравнения, т.е. найти такие отрезки, на концах которых, функция имеет разные знаки. С помощью табулирования можно найти минимум или максимум функции.

Вычисление определенных интегралов:

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычи­сления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные

функции либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если

подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (—R; R) включит в себя отрезок [a; b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Замечание. Первообразную F(x) для функции легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство в пре­делах от 0 до х.

Решение дифференциальных уравнений:

Требуется решить , удовлетворяющее начальным условиям

Способ последовательного дифференцирования:

Решение у = у (x) уравнения ищем в виде ряда Тейлора:

при этом первые два коэффициента находим из начальных усло­вий . Подставив в уравнение значения х = х_о, y=y₀, y’ = y₀’ находим третий коэффициент: Значения у'"(х_о),у⁽⁴⁾(x₀),… находим путем последовательного дифференциро­вания уравнения по х и вычисления производных при х = x₀. Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в ра­венство. Ряд представляет искомое частное решение урав­нения для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения.

Рассмотренный способ применим и для построения общего реше­ния уравнения, если у_о и у'_о рассматривать как произвольные постоянные.Способ последовательного дифференцирования применим для ре­шения дифференциальных уравнений любого порядка.

Способ неопределенных коэффициентов:

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для инте­грирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение: с начальными условиями y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’

Предполагая, что коэффициенты p₁(x), P₂(x) и свободный член f(x) разлагаются в ряды по степеням х — x_о, сходящиеся в некото­ром интервале (x₀ — R; x₀ + R), искомое решение у = у(х) ищем в виде степенного ряда:

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты c₀ и с₁ определяются при помощи начальных усло­вий .

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выраже­ния для функции у и ее производных в уравнение, заменив в нем их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд сходится в том же интервале (x₀ - R; x₀ + R) и служит решением уравнения.