1.2. Функциональный ряд, область сходимости

Ряд, членами которого являются функции от x, называется функ­циональным:

Придавая x определенное значение , мы получим числовой ряд который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называет­ся точкой сходимости ряда если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента ж, при которых функ­циональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма являет­ся некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством

– частичная сумма ряда

1.3. Степенные ряды, область сходимости, радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов.

Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере одну точку: x = 0

(ряд где — некоторое постоянное число, сходится в точке x = ).

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого .

Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого .

Доказательство: Так как по предположению числовой ряд сходится, то его общий член

при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.

Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию

. Действительно, если бы в какой-либо точке х, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Теорема полностью доказана.

Интервалом сходимости степенного ряда является такой интервал от –R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

Свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (—R;R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂ , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда при —R < х < R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ря­да S(x)=… при —R < а < х < R выполняется равенство

Ряды S’(x) и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для сте­пенных рядов вида .