44. Задача о построении критического пути в графе и ее решение.

Граф – совокупность точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые пары этих точек. Некоторые ребра снабжаются стрелками, они называются ориентированными ребрами или дугами. Два вершины могут соединяться несколькими ребрами, идущими в одном направлении. Такие ребра называются кратными (параллельными), а граф, содержащий кратные ребра, - мультиграфом. G=(X,U), Х- непустое конечное множество (множество вершин), U – бинарное отношение на нем (множество ребер). Дуги обозначаются: (xi,xj,v) =начало, конец и номер. Ребра: {(xi,xj,v),(xj,xi,v)}. Вершины, соединенные ребром или дугой, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, также называются смежными.

В некоторых случаях надо найти не кратчайший путь, а наоборот самый длинный. 1. перенумеровать вершины графа так, чтобы вершина а получила обозначение х0, а вершина z – xn (выход графа), 2. присвоить каждой вершине xi метку лямбдаi, так чтобы лямбда0=0, лямбда1=минус бесконечность, 3. найти дугу uij, для которой выполняется неравенство лямбдаj-лямблаi<l(uij). Для вершины xj заменить метку на новую, большую: лямбдаj=лямбдаi+l(uij), 4. процедуру повторять, пока для каждой вершины не станет справедливым неравенство: лямблаj-лямбдаi>=l(uij), 5. найти такую вершину xk, что лямбдаn=лямбдаk+l(ukn), затем вершину xm, для которой лямбдаk=лямбдаm+l(uij) и так далее. После некоторого числа шагов вершина совпадет с x0=а. Этот путь будет критическим.

45. Многокритериальная оптимизация. Метод последовательных уступок Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием. Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует все эти критерии. Можно сформулировать кратко задачу векторной оптимизации: Z=<Z1,Z2…>. х принадлежит Q (области допустимых значений). В идеальном случае в задаче можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Но такое пересечение часто бывает пустым, поэтому приходится рассматривать «переговорное» множество решений Парето. Вектор называется эффективным, если не существует другого х из области допустимых решений, при котором общая целевая функция больше, чем данная. Множество допустимых решений, для которого невозможно улучшить все частные показатели эффективности, называется областью Парето или областью компромиссов. В общем случае эффективные решения не эквиваленты друг другу, т.е. два решения могут быть оптимальными по Парето, но нельзя сказать, какое из них лучше.

Метод последовательных уступок применяется, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания важности. Находимся максимальное значение целевой функции, первого по важности критерия. Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения (экономически оправданные уступки) первого критерия и отыскивается максимальное значение второго критерия при условие, что значение первого должно отклоняться от максимального не более, чем на величину допустимой уступки. Назначается величина уступки второго критерия. Этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

32. Динамическое программирование – это вычислительный метод для решения задач математического программирования путем их разложения на относительно небольшие и, следовательно, менее сложные задачи. Специфика состоит в том, что для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов, этапов. Поэтому сам процесс планирования операции становится многошаговым и развивается последовательно от шага к шагу. На каждом этапе определяется экстремум функции только от одной переменной. Процесс разворачивается в обратном порядке: от конца к началу. В основе лежит принципе оптимальности: искать всегда оптимальное продолжение процесса относительно того состояния, которое достигнуто в данный момент. Состояние системы на каждом шаге характеризуется некоторой переменной величиной, названной параметром состояния. Наилучший эффект на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами характеризуется функцией состояния.

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Необходимо составить план производства на указанные месяцы с учетом завтрат на производство и хранение изделий. Обозначим: xj – число изделий, производимых в j-ый месяц, yj – величина запаса к началу j-ого месяца, dj – число изделий, которые должны быть отгружены в j-ый месяц, fj(xj, y_j+1) – затраты на хранение и производство изделий в j-ом месяце. Надо найти план производства х, компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса: xj+yj-dj= y_j+1 b и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период: , причем у и х>=0. Объем производимой продукции на этапе j может удовлетворять спрос на всех последующих этапах, но не имеет смысла хранить число изделий, превышающих суммарный спрос. Число производимых в j-ом месяце изделий должно быть больше 0 и меньше числа изделий, которые должны быть отгружены в этом месяце+запас.

Введем параметр состояния (Е-кси) – наличный запас в коне k-ого месяца: Е= y_k+1, а функцию состояния определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия: . Рекуррентное отношение в данном случае: , где 0<=xk<=dk+E. Далее решение идет как обычно.