1.Слау:_основные_определения, каноническая форма записи слау.

Система m уравнений первой степени с n неизвестными называется линейной, т.к. xj- неизвестная, входящая в уравнение только в первой степени. Кратко СЛАУ записывают: А*Х=В. Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны. Система называется совместной, если она имеет решение. Если она не имеет решений, то называется несовместной или противоречивой. Две слау с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если обе они не совместимы или имеют одни и те же решения: число уравнений в них может быть различным. Относительно любой слау задаются вопросы: 1.совместна ли она, 2.если да – то каково число решений, 3.как найти решения. 1,2 – исследование системы, 3 – решение.

3 типа элементарных преобразований:

1. перестановка двух уравнений системы.

2. умножений обеих частей одного из уравнений на любое число, не = 0.

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную СЛАУ в эквивалентную систему.Подвергая СЛАУ элемент.преобразованиям,можно исключить любую неизвестную из всех уравнений,кроме к-л одного уравнения.

Пусть имеется СЛАУ1,в кот.выбрано разрешающее уравнение,разрешающая переменная x_s и разр-й коэф-т при этой неизвестной a_rs (r-номер разр.ур-я,s-номер разр.неизвестной). Необходимо исключить разр-щую переменную x_s из всех уравнений кроме этого. Тогда коф-ты новых ур-й рассчитываются по след.формулам исключения: a^|_ij=a_ig-a_is/a_rs*a_rg

a^|_rj=a_rg/a_rs

для свободных членов: b^|_I=b_i-a_is/a_rs*b_r

b^|_r=b_r/a_rs

Сущ-т правило прямоугольника:

a_ij …… a_is a_is …….. b_i

a_{rj ……….} a_rs a_rs …….. b_r

Для того чтобы получить новый коэф-т a^|_ij нужно старый эл-т a_ij умпожить на разр-щий эл-т a_rs, вычесть произведение эл-тов на др.стороне прямоугольника и поделить на разр-щий эл-т a_rs: a^|_ij=(a_ig*a_rs-a_rj*a_is)/a_rs

b^|_I=(b_i*a_rs-a_is*b_r)/a_rs

Примем а11 за разрешающий элемент и исключим его по формулам исключения из всех уравнений, кроме первого. Далее исключим из всех уравнений системы, кроме второго, неизвестную х2. Этот процесс закончится, когда система станет несовместной или когда она примет предпочитаемый или канонический вид: x1+g(1,m+1)*x(m+1)+…+g(1n)*xn=h1, x2+g(2,m+1)*x(m+1)+g(2n)*xn=h2… коэффициенты при базисных переменных (остальные свободные) равны 1. Базисные переменные есть только в одном уравнении.

2.Исследование и решение слау методом_последовательного исключения неизвестных Жордана, нахождение_различных предпочитаемых эквивалентов данной слау и базисных решений, общего решения.

Примем а11 за разрешающий элемент и исключим его по формулам исключения из всех уравнений, кроме первого. Далее исключим из всех уравнений системы, кроме второго, неизвестную х2. Этот процесс закончится, когда система станет несовместной или когда она примет предпочитаемый или канонический вид: x1+g(1,m+1)*x(m+1)+…+g(1n)*xn=h1, x2+g(2,m+1)*x(m+1)+g(2n)*xn=h2… коэффициенты при базисных переменных (остальные свободные) равны 1. Базисные переменные есть только в одном уравнении.

Если число уравнений в системе не больше числа неизвестных (m<n), то систему можно записать кратко: . Если m=n, то x1=h1, x2=h2… Система совместна и определена. Если m<n, то решения свободных переменных можно взять любое и это будет частное решение, в этом случае система совместна и неопределенна. Выражение базисных переменных через свободные дает базисное решение. Среди частных решений выделяется базисное, отвечающее нулевым значениям свободных переменных: x1=h1, x2=h2… х(m+1)=0, x(m+2)=0…

В основе метода Жордана-Гаусса лежит правило прямоугольника. Там, где надо получить единицу, выбирается разрешающий элемент. Разрешающую строку делим на разрешающий элемент, а разрешающий столбец обнуляем. Остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.

Мы можем взять свободную неизвестную за разрешающую и перевести ее в число базисных, путем преобразования слау к предпочитаемому виду.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛАУ тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы(+b) = рангу обычной матрицы.

Метод Жордано.Суть метода сост в том, что за счёт элемен-х преобр-й, за конечное число шагов система произ-ся к так назыв-му, предпочит-му или каноническому виду, кот легко исслед-ся и решаются. Выбирается разрешающее ур-е, в кот выбир неизвестная,коэф-т при кот отличен от нуля (разреш-ая неизвестная), а коэф-т при ней назыв разрешающий коэф-т. Путём элем-х преобразований разреш-ая неизвестная искл-ся из всех урав-й системы кроме разрешающей. Берётся след ур-е и след разреш-ая перем-ая отличная от первой, далее путём элем-х преобр-й она искл-ся из всех ур-й системы кроме разрешающей и т.д. пример:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+а_1nх_n=b_{1 –} разреш урав-е

а₁₁0 а_m1х₁-разреш перем-ая

нужно искл х₁ из всех ур-й кроме разрешающего. Нужно 1-е ур-е *-а₂₁/а₁₁=

-а₂₁х₁- а₁₂*а₂₁/а₁₁*х₂ -…- а₂₁*а_1n/а₁₁*х_n=-b₁*а₂₁/а₁₁ + 2 ур-е системы

В рез-те преобр-й возможны след.случаи:

1) в процессе реш-я появл равенства 0*х₁+0-х₂+…+0-х_n=b_i в_i0

при появл такого равенства пишем что сис-ма несовместна.

2) левая и правая части i ур-я обращ-ся в 0, т.е.0=0  данное ур-е явл линейной комбинацией ур-й вход-х в эту систему, в этом случ это ур-е исключается из всей системы

3) после того как все ур-я слау будут испол для искл неиз-х, либо будут получены решения системы, либо будет доказана её несовместимость,система будет приведена к след виду: х₁+q_1,m+1*x_m+1+…+q_1n*х_n=h₁

х₂+q_2,m+1*x_m+1+…+q_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+q_m,m+1*x_m+1+…+q_mn*х_n=h_m

в этом сл гов, что слау приведена к предпочитаемому или канонич-му виду. Те неиз-ые,кот входят в одно конкретное ур-е системы и не входят в ост-ые назыв базисными неизвестными, все остал-е неиз-ые назыв свободными. Выражение базисных через свободные неиз-ые назыв общим решением слау:

х₁=h₁-q_1,m+1-x_m+1-…-q_m*x_n

х₂=h₂-q_2,m+1-x_m+1-…-q_2n*x_n

……………………………….

x_m=h_m-q_m,m+1-x_m+1-…-q_mn*x_n

Придавая свободным неизв какие-либо зн-я будем получать опред зн-я базисных неизв-х. Такие решения слау наз частными небазисными реш-ми. В том случае, если все свободные перем-е = 0, то полученное знач-е базисных перем-х в совм-ти с нулевыми свободными назыв базисным решением слау: х₁=h₁ x₂=h₂ x_m+1=0 и т.д. х_n=0

3. Преобразование СЛАУ с сохранением неотрицательности_правых_частей уравнений,_нахождение_различных базисных неотрицательных решений, правила выбора разр-щей неизвестной и разр-щего_уравнения,их обоснование.

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными. Для этого достаточно выбирать разрешающий элемент по определенным правилам. При переходе системы в другую систему используем формулы исключения: , где r – номер разрешающего уравнения, s – номер разрешающей неизвестной, i не =r. , i=r. . . А – матрица коэффициентов, В – матрица свободных членов. Так как правые части уравнений должны быть неотрицательны и отбросив случай, когда правые части не изменяются, замечаем, что разрешающий элемент должен быть положительным: ars>0, т.е. в качестве разрешающей можно взять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. После должно быть выбрано разрешающее уравнение, исходя из условия: >0, откуда следует: .

Правила выбора разрешающего элемента. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную можно принять любую неизвестную, при которой есть хотя бы один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестой в этих уравнениях. Если преобразования слау осуществляются методом Жордана-Гаусса с учетом правила выбора разрешающего элемента, то они называются симплексными, т.е. приводящими гарантированно к неотрицательному решению.

Вырожденная слау – система, у которой в каком-либо предпочитаемом виде хотя бы один свободный член = 0, у нее отношение b\а может быть одинаково в нескольких уравнениях.

Система не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

__Если правые части всех уравнений полученных систем окаж неотриц-ми,то соотв базисные решения также будут неотрицательными.=>чтобы получить неотриц базисные решения СЛУ,надо научиться вести процесс исключения неиз-х так, чтобы свободные члены всех ур-й на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными.Для этого следует руковод-ся след правилам: 1)если в СЛАУ им отриц свободные члены,то все такие ур-я необх *(-1); 2)в кач-ве разр-щей приним ту переменную,коэф-т при кот хотя бы в одном ур-нии системы положителен; 3)для нахождения разрешающего уравнения находят тип отношений столбца свободных членов к положительным эл-там разр-щего солбца,в этом сл k-ое ур-е будет разр-щим

min(b_i/a_ij>o)=b_k/a_ij

Если хотя бы в одном из ур-й системы свободный член положителен,а все коэф-ты при неизв-х<0,то система неотрицательных реш-й не имеет.Преобразования системы в соотв с этими правилами наз симплекс преоб-ниями системы. Если указанный min достигается для неск-х ур-й системы,то такая система наз вырожденной. Необх-м условием вырожденной системы явл то,что свободный член хотя бы одного ур-я системы=0.

4.Многомерные векторы и действия над ними.n-мерное векторное пространство.Совокупность n чисел а1, а2…an.ю заданных в определенном порядке, называется n-мерным вектором. Числа а называются координатами вектора, а число n – его размерностью. Векторы можно сравнивать между собой и складывать: a+b=(a1+b1, a2+b2…). a+b=b+a. (a+b)+c=a+(b+c). Вектор, все компоненты которого равны 0, называется нуль-вектором. Вектор –a(-a1,-a2…) называется противоположным вектору а. Векторы можно умножать на число: λa=(λa1, λa2…). Скалярное произведение двух векторов называют число, равное сумме произведений одноименных координат данных векторов: a*b=a1*b1+a2*b2…

Векторы образуют линейное пространство. Оно называется линейным, если: 1. есть правило, которое позволяет построить для каждых двух элементов a и b из множества третий элемент, называемый суммой элементов a и b, 2. которое позволяет для каждого элемента а из множества и любого действительного числа построить произведение λa, 3. существует нулевой и противоположный вектор. Множество n-мерных векторов образуют арифметическое пространство.

Вектор b является линейно зависимой комбинацией векторов а1, а2…, если его можно представить как сумму произведений данных векторов на какие-либо числа: b= λa1+ λa2… λ – коэффициенты линейной комбинации. Векторы а1, а2… являются линейно зависимыми, если найдутся такие числа мю: мю*а1+мю*а2…=0. Если это равенство можно получить только, когда все мю = 0, то векторы являются линейно независимыми. Необходимые и достаточные условия линейной зависимости системы n-мерных векторов: для того, чтобы векторы а1, а2… были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы 1 из этих векторов являлся линейной комбинацией других. Подсистема векторов а1,а2… называется базисом всей системы, если она линейно независима и любой вектор системы может быть выражен через векторы подсистемы.

Совокупность систем из n-мерных упорядоченных чисел, для которых проведены операции сложения и умножения на число, называются n-мерным векторным пространством. Гиперплоскостью в n-мерном векторном пространстве называется геометрическое место точек с координатами х1, х2…, удовлетворяющих уравнению: x1*a1+x2*a2…=b. Гиперплоскость делит все пространство на два гиперпространства (< и > b). Каждое из них – выпуклое множество точек. Пересекаясь, полупространства образуют выпуклый многогранник.

Теорема о линейной зависимости векторов: пусть b1,b2… линейно выражаются через а1,а2… Если число линейных комбинаций больше числа данных векторов, то векторы b1,b2 линейно зависимы. Любые две максимальные линейно независимые подсистемы одной и той же системы содержат одинаковое число векторов. Число векторов в произвольной максимальной линейно независимой подсистеме называется рангом системы векторов. Всякий вектор n-мерного пространства можно единственным образом разложить по векторам базиса.

5.Матрицы,_их_классификация. Сложение_матриц_и_умножение матрицы_на_число,умножение матрицы_на_матрицу,_свойства. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m*n. Числа а называются элементами матрицы. Строки и столбы – ее рядами. При m=1 и n=1 получаются матрица-строка или матрица-столбец. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n рядом – порядком матрицы. Элементы а11,а22… квадратной матрицы образуют ее главную диагональ. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от ее главной диагонали, равны 0. Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а остальные 0. Если aij=aji, то матрица симметрична. Может быть вектор-строка или вектор-столбец.

Транспонирование – это замена строк на столбцы с сохранением порядка следования элементов. Под матричной суммой понимают (а)+(b)=(a+b). Свойства матричной суммы: A+B=B+A. (A+B)+C=A+(B+C). Альфа*(A+B)=альфа*A+альфа*В. Для того, чтобы матрицы можно было перемножить, надо, чтобы число столбцов матрицы А равнялось числу строк матрицы В.

Произведением матрицы А размера т х п на матрицу В размера n х k наз матрица С размера т х k, эл-ты кот с_ij равны скалярному произведению i-й строки матрицы А на_j-й столбец мат­рицы В, т.е.

Произведение матриц обозначается С = АВ. Скалярное произве­дение векторов а и b можно представить как произведение вектора-строки (матрицы-строки) а на вектор-столбец (матрицу-столбец) b': (a, b) = ab'.Для операции произведения матриц справед­ливы следующие свойства: 1)A(BС) = (АВ)С; 2)(А + В)С = АС + ВС; 3)A(B+С)=AB+AC; 4) λАВ) = (λА)В.