10. Аксонометрические проекции

Для наглядного изображе­ния расположенных в пространстве относительно выбранных плос­костей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников и т.д. используются проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого «аксон» – ось, «метрио» – измеряю) или аксонометрией. Их часто используют для наглядного изображения конструкций приборов, машин на чер­теже, особенно на начальных этапах конструирования.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется параллель­но на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксономет­рических проекций.

При параллельном проецировании, если направление про­ецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоуголь­ной, если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции оси присоединенных прямоугольных координат располагают непараллельно плоскости аксонометрических проекций.

Применяемые в отечественной конструкторской докумен­тации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на при­мере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис.11.1) путем последовательного преобразования его ортого­нальных проекций вместе с осями.

Рис.11.1

При повороте параллелепипеда (рис.11.1, а) с осями x и у вокруг оси z по стрелке А на 45° получаем его изображение (рис. 11.1, 6) с повернутыми осями х₁ и у₁ и сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изоб­ражения на профильной проекции с осями z", x", у" по стрелке Б на угол 30° получаем изображение (рис.11.1,в) с осями z"₁, x"₂, у"₂ , расположенными под некоторыми углами к аксонометрической плоскости Р(Р_w). Параллельная проекция (рис.11.1, г) по стрелке В на плоскости P и является аксонометрической проекцией па­раллелепипеда с осями на плоскости Р. Аксонометрическую плос­кость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

Проекции осей координат x_p, y_p, z_p на плоскости аксоно­метрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «р» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга на­правлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это положение доказано теоремой К.. Польке, которая утверждает:

три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоско­сти и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных от­резков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

Рассмотрим направление аксонометрических осей и масш­табы по ним для направления проецирования, перпендикуляр­ного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции.

Рис.11.2 Рис.11.3

Коэффициент искажения. На рисунке 11.2 изображена про­странственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz единичные отрезки e на осях координат и их проекции в на­правлении S на некоторую плоскость P, являющуюся аксоно­метрической плоскостью проекций. Проекции e_x, e_y, e_z отрезка e на соответствующих аксонометрических осях O_px_p, O_py_p, O_pz_p в общем случае не равны отрезку e и не равны между собой. Отрезки e_x, e_y, е_z являются единицами измерения по аксоно­метрическим осям – аксонометрическими единицами (аксо­нометрическими масштабами).

Отношения:

называют коэффициентами искажения по аксонометричес­ким осям.

В частном случае положение аксонометрической плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы – отрезки е_х, e_y, e_z – будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При е_х = e_у = e_z (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней оди­наковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при е_х = e_z ≠ e_y (k = n ≠ m), имеем диметрическую проекцию. Если е_х ≠ е_у ≠ e_z, то проекцию называют тpuметрической.

Аксонометрическая плоскость Р на рисунке 11.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Ox, Oy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксоно­метрию. В этом случае отрезок ОО_р перпендикулярен плоско­сти Р. Отрезки O_px, O_py, O_pz являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох, Oy, Oz и представляют собой ка­теты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых – отрезки Ox, Oy, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости P через α, β, γ. Тогда:

Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е.

k = cos α; m = cos β; n = cosγ.

Известно, что для отрезка OO_р Р сумма квадратов направ­ляющих косинусов равна единице:

cos² (π/2 – α) + cos² (π/2 – β) + cos² (π/2 – γ) = 1.

Отсюда:

sin² α + sin² β + sin² γ = 1

или

1 – cos² α + 1 – cos² β + 1 – cos² γ = 1.

Тогда:

cos² α + cos² β + cos² γ = 2

или

k² + m² + n² = 2,

т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Изометрическая проекция. В изометрической проекции все коэффициенты равны между собой:

k = m = n; k² + m² + n² = 2.

Тогда

3k ² = 2,

откуда

.

Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен. По­этому изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям x, у, z, т. е. используют приведенный коэффициент искажения, который принимают равным 1. Получаемое при этом изображе­ние предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом слу­чае составляет 22% (выражается числом 1,22 = 1׃ 0,82).

Каждый отрезок, направленный по осям x, у, z или парал­лельно им, сохраняет свою величину.

Рис.11.4 Рис.11.5

Рис.11.6

Расположение осей изометрической проекции показано на рисунке 11.4. На рисунках 11.5, а, 11.6, а показаны ортого­нальные, а на рисунках 11.5, б, 11.6, б – изометрические про­екции точки А и отрезка AB.

Шестигранная призма в изометрии. Построение шестигран­ной призмы по данному чертежу в систем ортогональных про­екций (слева на рис.11.7) приведено на рисунке 11.7. На изометрической оси z откладывают высоту H, проводят ли­нии, параллельные осям x и у. Отмечают на линии, парал­лельной оси x, положение точек 1 и 4.

Для построения точки 2 определяют координаты этой точ­ки на чертеже – х₂ и у₂ – и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строят точки 3, 5 и 6.

Рис. 11.6 Рис. 11.7

Построенные точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки 1 до пересечения с осью x, затем – ребра из точек 2, 3, 6. Ребра нижнего основания про­водят параллельно ребрам верхнего. Построение точки А, рас­положенной на боковой грани, по координатам х_А (или у_А) и z_A очевидно из рисунка 11.7

Диметрическая проекция. Коэффициенты искажения в диметрической проекции выбирают следующими:

k = n; m = 1/2 k.

Тогда

2k²+ 1/4k²; m = 0,47

.

В целях упрощения построений, как и в изометрических проекциях, приведенный коэффициент искажения по осям x и z принимают равным 1; по оси у коэффициент искажения равен 0,5. По осям x и z или парал­лельно им все размеры откла­дывают в натуральную величину, по оси у размеры уменьшают вдвое.

Увеличение в этом случае составляет 6% (выражается числом 1,06 = 1:0,94). Расположение осей Ох и Oy в диметрическои проекции показано на рисунке 11.8. С достаточной для практических це­лей точностью оси x и у строят по тангенсам углов:

tg 7°10' 1/8; tg 42°25' 7/8.

Продолжение оси у за центр О_р является биссектрисой угла xО_р z, что также может быть использовано для построения оси у.

Аксонометрические изображения окружности. Окружности в аксонометрической проекции приведены на рисунке 11.9, в диметрической – на рисунке 11.10 с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов для приведенных коэффициентов искажения, равных 1.

Рис.11.8

Большая ось эллипсов расположена под углом 90° для эл­липсов, лежащих:

в плоскости xOz – к оси у,

в плоскости yOz – к оси x,

в плоскости xOy – к оси z.

При выполнении аксонометрического изображения от руки (как рисунка) построение эллипсов, как в изометрии, так и в диметрии, выполняют по 8 точкам. Например, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (см. рис. 11.9). Точки 1, 2, 3 и 4 находят на соответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7 и 8 строят по величинам соответствующих большой и малой осей эллипса.

При выполнении же аксонометрического изображения чер­тежным инструментом построение эллипсов в диметрической проекции также производят по 8 точкам, а эллипсы в изомет­рической проекции можно заменять овалами и строить их сле­дующим образом.

Рис. 11.9 Рис. 11.10

Построение показано на рисунке 11.9 на примере эллипса, лежащего в плоскости xOz. Из точки 1 как из центра делают засечку радиусом R = D на продолжении ма­лой оси эллипса в точке О₁ (строят также аналогичным обра­зом и симметричную ей точку, которая на чертеже не показана). Из точки О₁ как из центра проводят дуту CSC ра­диуса D, которая является одной из дуг, составляющих кон­тур эллипса. Из точки О₂ как из центра проводят дугу радиуса О₂S до пересечения с большой осью эллипса в точках О₃. Проводя через точки О_{1 ,} О₃ прямую, находят в пересечении с дугой CSC точку К, которая определяет О₃К – величину ра­диуса замыкающей дуги овала. Точки К являются также точ­ками сопряжения дуг, составляющих овал.

Аксонометрия цилиндра. Аксонометрические изображения цилиндра определяются аксонометрическими изображениями окружностей его оснований. Построение в изометрии цилиндра высотой H ортогональному чертежу (рис. 11.11 слева) и точ­ки С на его боковой поверхности показано на рисунке 11.11 справа. Пример построения в изометрической проекции круглого фланца с четырьмя цилиндрически­ми отверстиями и одним треуголь­ным приведен на рисунке 11.12. При построении осей цилиндричес­ких отверстий, а также ребер треу­гольного отверстия использованы их координаты, например координа­ты x₀ y₀.

Рис.11.11 Рис.11.12

Аксонометрическое изображение сферы и способ вписывания сферических поверхностей. В прямоугольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде круга. Это позволяет использовать сферу для построения аксонометрических проекций тех фигур, в которые могут быть вписаны сферические поверхности. Так, например, аксонометрия поверхности вращения в этом случае может быть построена как огибающая сфер, вписанных в эту поверхность.

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция. Из ко­соугольных аксонометрических проекций рассмотрим фронталь­ную диметрическую проекцию, широко используемую в учебном процессе. Положение аксонометрических осей для нее приведено на рисунке 11.13. Допускается применять фронталь­ные диметрические проекции с углом наклона оси у 30° и 60°. Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, по осям x и z – 1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фрон­тальной плоскости проекций, проецируются на аксонометри­ческую плоскость проекций в окружность. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и про­фильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.11.14). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07, малая ось – 0,33 диа­метра окружности. Пример косоугольной фронтальной диметрической проекции детали приведен на рисунке 11.15.

Рис. 11.13 Рис. 11.14 Рис. 11.15

Контрольные вопросы к главе 11.

1. В чем заключается способ аксонометрического проецирования?

2. Что называют коэффициентами (или показателями) искажения?

3. Как производится переход от прямоугольных координат к аксоно­метрическим?

4. В каких случаях аксонометрическую проекцию называют: а) изометрической; б) диметрической; в) триметрической?

1. Чему равна сумма квадратов коэффициентов искажения для прямо­угольной аксонометрической проекции?

5. Чему равны коэффициенты искажения в прямоугольной проекции: а) изометрической; б) диметрической (при соотношении коэффи­циентов 1:0,5:1) – и каковы эти коэффициенты в приведенном (к единице) виде?

6. Как строят оси в прямоугольных проекциях:

а) изометрической; б) диметрической (l:0, 5:1)?

8. Как определяют направление и величину малой оси эллипса, явля­ющегося изометрической или диметрической проекцией окружнос­ти, расположеннойв плоскостях: общего положения; фронталь­но-проецирующей и горизонтально-проецирующей; фронтальной, горизонтальной и профильной?

9. Как определить координаты точек, заданных в прямоугольной аксо­нометрической проекции, на поверхности сферы, цилиндра и ко­нуса вращения?

102