10.5. Некоторые особые случаи пересечения поверхностей

В некоторых случаях расположение, форма или соотноше­ния размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пересечения никаких сложных построе­ний не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

Изображения пересечения цилиндров с параллельными об­разующими приведены на рисунке 10.10 слева, конусов с об­щей вершиной – справа.

Соосные поверхности вращения. Изображения пересечений соосно расположенных различных поверхностей вращения при­ведены на рис. 10.11. Конус, пересекающийся с двумя цилин­драми разного диаметра (рис.10.11, а), часто используют при конструировании как переход от одного диаметра к другому. Конус, сопряженный со сферой, с переходом на цилиндры (рис.10.11, б), широко используют в качестве деталей меха­низмов управления – рукояток.

Рис.10.10 Рис.10.11

Комбинацию из трех соосных пересекающихся конусов (рис. 10.11, в) применяют при конструировании деталей, на­зываемых штифтами или роликами. Крайние конические по­верхности, называемые фасками, служат для упрочения кромки детали и предохранения тем самым от забоин основной рабо­чей конической поверхности. Комбинация из пересекающих­ся трех соосных конусов образует центровое гнездо для обработки деталей в центрах. Для предохранения от повреждений рабо­чей конической поверхности 1 при соприкосновении (ударах) с другими деталями служит наружный конус 2.

Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы (рис.10.12). В этом случае линиями пересечения поверхностей 2-го порядка являются две плоские кривые 2-го порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхнос­тей, в виде прямолинейных отрезков. Выше уже были приве­дены некоторые примеры таких пересечений.

Рис.10.12

Другие примеры изображения линии пересечения поверх­ностей вращения, описанных вокруг одной сферы, рассмотре­ны на рисунке 10.12.

В случаях, показанных на рис. 10.12 а, б, поверхности двух цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллип­сам с проекциями 1'2' и 3'4'.

В случае, показанном на рис.10.12, в, пересечения кону­сов с вершинами S₁ и S₂, y которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения – эллипс с проекцией 1'2' и парабола с вершиной в точке с проекцией 3'.

Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частны­ми случаями, следующими из теоремы Монжа: две поверхнос­ти 2-го порядка, описанные около третьей поверхности 2-го порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирую­щая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхнос­тей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недо­стающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекции линии.

Рис.10.13

На рисунке 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной про­екцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции ли­нии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим харак­терные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь гори­зонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2', 2, 2" и 1', 1, 1") лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями o', о и ось ци­линдра с проекциями о'₁, о₁, о"₁. Горизонтальная проекция плос­кости симметрии – прямая, проходящая через проекции о и o₁,. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра от­мечаем горизонтальные проекции 2 и 1 высшей и низшей то­чек линии пересечения. Заметим, что точка 2 – ближайшая к высшей точке сферы, а точка 1 – наиболее удаленная от нее. Точки 3 и 4 – крайние левая и правая на фронтальной и горизонтальной проекциях, их профильные проекции 3", 4" на проекциях образующих, совпадающих с проекцией оси цилиндра. Точки 5 и 6 находятся на главном меридиане сфе­ры, их фронтальные проекции 5' и 6' – на фронтальном очерке сферы, профильные 5" и 6" – на профильной проекции вер­тикальной оси сферы. Точки 7 и 8 – ближайшая к плоскости V и наиболее удаленная от нее, их фронтальные проекции 7' и 8' – на проекции оси цилиндра, а профильные 7" и 8" – на крайних левой и правой проекциях образующих. Точки 9 и 10 имеют проекции 9' и 10' на фронтальной проекции вертикаль­ной оси сферы, проекции 9" и 10" – на профильной проек­ции очерка сферы.

Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для прове­дения плавных проекций линии пересечения. При необходи­мости может быть построено любое количество промежуточных точек.

Проекция 1' низшей точки построена с помощью проек­ций параллели сферы. Проекция 2' высшей точки построена с помощью проекций окружности радиуса o'd' на поверхности сферы, плоскость которой параллельна плоскости V. Анало­гичные построения остальных проекций точек линии пересече­ния ясны из чертежа.

Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости.

Контрольные вопросы к главе 10

1. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух поверхностей?

2. Какие точки линии пересечения поверхностей называют характер­ными?

3. В каких случаях для построения линии пересечения одной поверх­ности другой рекомендуется применять вспомогательные секущие плоскости, параллельные плоскостям проекций?

4. В каких случаях возможно и целесообразно применять вспомогатель­ные секущие сферы?

5. По каким линиям пересекаются между собой:

а) цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны между собой;

б) конические поверхности с общей вершиной?

6. Какие линии пересечения получаются при взаимном пересечении двух поверхностей вращения, описанных вокруг общей для них сферы?

7. По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности вращения?