5. Производная по направлению и градиент

Пусть в пространстве задан единичный вектор , где , где - углы между направлением и соответствующими координатными осями.

Производной функции f в точке по направлению вектора называют предел .

Производную функции f по направлению вектора обозначают . Производная функции f по направлению вектора характеризует скорость изменения функции в направлении вектора .

Градиентом дифференцируемой функции называют вектор . Этот вектор обозначают . Градиент функции показывает направление, в котором скорость роста функции максимальна.

6. Частные производные функций, заданных неявно

Пусть функция задана уравнением , , непрерывна в некоторой окрестности точки , Частная производная непрерывна в точке и . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция такая, что , удовлетворяющая уравнению . Если, кроме того, частные производные и непрерывны в точке , то в точке существуют все частные производные функции , причём .

Пример. Найти в точке (1;1) частные производные функции , заданной неявно уравнением

Из уравнения найдём значение функции в данной точке . Функция = равна нулю в точке (1,1,2) и непрерывна в её окрестности, а её частные производные , , также непрерывны, причём . Частные производные функции находим по указанным формулам.

Так как , , , то частные производные функции в этой точке равны ,

6. Дифференцирование сложных функций

Пусть задана функция , где , и пусть функции , и дифференцируемы. Тогда производная функции вычисляется по формуле: . В этом случае функцию можно рассматривать как сложную функцию от переменной . И последняя формула носит название формулы для вычисления полной производной .

Если задана функция , где , и функции и дифференцируемы, тогда производная функции вычисляется по формуле: . Здесь также функцию можно рассматривать как сложную функцию от переменной . носит название полной производной функции (в отличие от частной производной ).

Пусть задана функция , где , и пусть функции , и дифференцируемы. Тогда частные производные функции по переменным u и v вычисляются по формулам:

; .

6. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

, , , .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков. Например:

, .

Так называемые «смешанные» производные с одинаковым набором переменных дифференцирования в том случае, если они непрерывны, отличаются друг от друга лишь последовательностью дифференцирования и равны между собой. Например,

= .

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от её полного дифференциала первого порядка, то есть . Аналогично определяется дифференциал третьего и высших порядков: или .

Если х и у независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

;

.

Вообще, имеет место символическая формула ,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

9. Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме z = , где - дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности есть

,

где , а X, Y, Z – текущие координаты точки касательной плоскости.

Уравнение нормали имеет вид

,

где X, Y, Z – текущие координаты точки нормали.

В том случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и , соответствующие уравнения будут иметь вид: уравнение касательной плоскости

+ +

уравнение нормали

.