Основные операции над множествами.

Объединение множеств.

Объединением множеств А и В или их суммой называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В ( ).

Примеры:

Пресечение множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В ( ).

Примеры: Ø=Ø.

Произведение множеств.

Множество всех упорядоченных пар (а,b), a , называется произведением множеств А и В: ( ).

Примеры: Если , то Ф - прямоугольник, представляющий собой произведение отрезков и (рис.1)

y

d

c

0 a b x

Рис.1

Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В. Обозначается как

Примеры: Ø; .

Замечание: Если В А, то разность А и В называется дополнением множества В до множества А.

Мощность множества.

Пусть А и В – множества.

Определение: Правило , которое соотносит каждому элементу a А один и только один элемент , причем каждый элемент соотнесен одному и только одному элементу a А, называется взаимно-однозначным соответствием между множествами А и В.

Определение: Если между множествами А и В можно установить взаимнооднозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или что они имеют одинаковую мощность.

Понятие мощности для конечных множеств имеет смысл одинаковой их численности.

Счетные и несчетные множества.

Определение: Всякое множество А, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Определение: Множество, не эквивалентное множеству натуральных чисел, называется несчетным.

Примеры: Множество Q-счетное множество.

Множество R-несчетное множество.

Множество I-несчетное множество,(I=R\Q).

Функция.

Определение: Пусть даны непустые множества А и В. Если каждому элементу х из А ставится в соответствие по закону f один и только один элемент у из В, то говорят, что на множестве А задана функция f со множеством значений в В.

Можно записать в виде , где х – аргумент, или у – значение функции f.

Множество А называется областью определения функции. - множество значений функции, причем может совпадать со множеством В или быть его частью.

Пример 1.

Для функции область определения, следуя понятию арифметического корня, определяется решением неравенства , т. е. А=[-1;1]. Множество значений функции =[0;1], являющееся частью множества .

Пример 2.

Для функции областью определения является (0;125).

Пример 3.

Для функции y=cos5x-1,5 множеством значений является [-2,5;-0,5].

Числовая последовательность

Df: Числовой последовательностью называют любую числовую функцию, определенную на множестве всех натуральных чисел.

Обозначают числовые последовательности так:

или , или .

Df: Выражения f(n ) и a_n называют общим членом числовой последовательности или переменной.

Df: Число α называют пределом числовой последовательности (переменной a_n), если

.

Предел числовой последовательности обозначают как .

Бесконечно малые и большие последовательности

Df: Последовательность называется бесконечно малой, если .

По определению предела это означает ( ).

Df: Последовательность называется бесконечно большой, если .

А

Классификация бесконечно малых последовательностей

Df: Бесконечно малые последовательности и называются эквивалентными, если . Обозначается это как ~ .

Df: Бесконечно малые последовательности и - называются бесконечно малыми одного порядка малости, если

( ) и .

Df: Б/м называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая , если .

Th: Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими переменными

Если α_n - бесконечно малая переменная, и , то является бесконечно большой переменной.

Доказательство:

Т.к. по условию - бесконечно малая числовая последовательность, то 

Построим

Возьмём произвольно .

Возьмем .

Т.к. .

Тогда в совокупности получаем, что

, т.е. при . А это означает по определению, что β_n – есть бесконечно большая переменная.

Свойства бесконечно малых числовых последовательностей.

1⁰ .Сумма, разность и произведение бесконечно малых числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.

2⁰ .Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную числовую последовательность является бесконечно малой числовой последовательностью.

3⁰ .Произведение б/м числовой последовательности на константу есть б/м числовая последовательность.

4⁰. Если бесконечно малые , и , то

Доказательство 1⁰

Пусть и - б/м числовые последовательности.

Покажем, что - б/м числовая последовательность.

Действительно, т.к. и , то ,

.

Выберем . Тогда одновременно выполняется:

и .

Сложим

Таким образом, , т.е. - бесконечно малая.

Доказательство 2⁰

Пусть - б/м числовая последовательность, а - ограниченная числовая последовательность.

Покажем - б/м числовая последовательность.

Действительно

Т.к. - ограниченная, то по определению означает .

Построим .

Оценим, , т.к. .

Для ( в том числе и для ) .

Это означает, что . А это в свою очередь значит, что числовая последовательность - бесконечно малая числовая последовательность.

Доказательство 3⁰

Пусть - б/м числовая последовательность и .

Докажем - б/м числовая последовательность.

Очевидно, - ограниченная числовая последовательность.

А тогда на основании свойства 2⁰ - б/м числовая последовательность.

Доказательство 4⁰