Решение задачи 6.11
Задание.
Для функции
найти производную в точке
(0,6;0,8)
в направлении вектора
,
градиент функции в точке
и абсолютную величину градиента в точке
.
Решение
Производная
функции
в точке М
в направлении вектора
при
условии, что функция
дифференцируема,
вычисляется по формуле:
,
где
-
угол, образованный вектором
с осью Ох.
Рис. 6.
=
=
=
0,64
=
=
- 0,48
Косинус
и синус угла, образованного вектором
с
осью Ох,
вычисляются по формулам 
,
.
В
нашем случае
, 
.
Итак,
.
Найдём градиент функции в точке (0,6;0,8) по формуле:
.
.
Найдём абсолютную величину градиента:
,
.
Задача 7. Найти экстремумы функции
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
|
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
|
,
Решение задачи 7.11
Задание:
Найти экстремумы функции
.
Решение
Найдём частные производные первого порядка
,
.
Согласно необходимым условиям экстремума получаем систему уравнений:
Решив эту систему, найдём все стационарные точки: (0;0), (12;0), (0;12), (3;6).
Вычислим производные второго порядка
, 
, 
.
А
=
, В
=
С
=
1) Исследуем на экстремум точку (0;0).
В
этом случае
.
-
требуются дополнительные исследования.
Легко
видеть, что в точке (0;0) экстремума нет.
В самом деле
,
а в сколь угодно малой окрестности точки
(0;0;0) функция может принимать как
положительные, так и отрицательные
значения. Например,
>0
при достаточно малом
,
и
<0
при достаточно малом
.
2) Исследуем на экстремум точку (12;0).
В
этом случае
.
-
требуются дополнительные исследования.
Легко
видеть, что в точке (0;0) экстремума нет.
В самом деле
,
а в сколь угодно малой окрестности точки
(12;0;0) функция может принимать как
положительные, так и отрицательные
значения. Например,
<0
при достаточно малом
,
и
>0
при достаточно малом
.
3) Исследуем на экстремум точку (0;12).
В
этом случае
,
,
.
- следовательно, в рассматриваемой точке
экстремума нет.
4) Исследуем на экстремум точку (3;6).
В
этом случае
,
,
.
-
экстремум в рассматриваемой точке есть.
<0
– в точке (3;6) функция имеет строгий
максимум,
.
Задача 8. Для функции, указанной в задаче 6, найти наибольшее и наименьшее значения в области G.
8.1
G:
8.2
G:
8.3
G:
8.4
G:
8.5
G:
8.6
G:
|
8.7
G:
8.8
G:
8.9
G:
8.10
G:
8.11
G:
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Решение задачи 8.11
Задание:
Для функции
найти наибольшее и наименьшее значения
в области G,
ограниченной линиями
,
,
.
Решение
По результатам задачи 6, критические точки функции:
(0;0), (0;12), (12;0), (3;6).
Точки (0;0), (0;12), (12;0) точками экстремума не являются.
Точка (3;6) является точкой максимума,
.
Точка (3;6) лежит внутри заданной области.
Исследуем поведение функции на границах области, то есть найдём её условные экстремумы относительно заданных уравнений связи.
Точки пересечения заданных линий: (4;7), (4;-1), (-4;7).
,
,
