Решение задачи 3.11
Задание.
Найти частные производные первого и
второго порядка для функции
.
Найти частные дифференциалы первого и
второго порядка для заданных функций.
Записать полный дифференциал функции
первого порядка.
Решение
Найдём
,
рассматривая
как
постоянную величину.
=
=
=
=
=
=
Найдём
,
рассматривая
как
постоянную величину. Функция
не изменится, если поменяем местами
переменные
и
.
Следовательно,
и
.
Соответственно, частные дифференциалы функции первого порядка:
; 
,
а полный дифференциал первого порядка
Найдём
,
,
,
:
=
=
=
=
.
Аналогично
=
.
=
=
=
0,
=
=
=
0
Соответственно, частные дифференциалы второго порядка:
=
;
=
;
=0
;
=0
.
Рис.4
Графическая интерпретация рассматриваемой
функции
.
Задача 4. Вычислить приближённо значение выражения
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
|
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
|
Решение задачи 4.11
Задание.
Вычислить
приближённо значение выражения
.
Решение
Введём
в рассмотрение функцию
.
Найдём её приближённое значение в точке
М(8,03;
0,98) по формуле
Пусть
,
,
тогда
(8;
1)=
=1
; 
;
; 
=1+
==0,9975.
Задача
5. Записать
уравнение касательной плоскости и
нормали к данной функции в точке
.
5.1 (4;2;3) 5.2 , (1;2;8) 5.3 , (0;-1;0) 5.4 , (-1;0;0) 5.5 , (5;-4;3) 5.6 , (-3;1;7) |
5.7 , (0,6;0,8;1) 5.8 , (5;0;1) 5.9 , (-2;0;-1) 5.10 , (-1;2;10) 5.11
|
,
(0,6;0,8;1)
Решение задачи 5.11
Задание.
Записать
уравнение касательной плоскости и
нормали к функции
в точке
(0,6;0,8;1).
Решение
Уравнение
касательной плоскости к поверхности
в точке (x
;y
)
имеет вид:
уравнение
нормали:
.
Рис. 5
=
=
- 0,6
=
=
- 0,8.
Запишем уравнение касательной:
или
.
Запишем уравнение нормали:
или
.
Задача 6.
Для данной функции
найти
производную в точке М
в направлении вектора
,
градиент функции
в точке М и абсолютную величину градиента
в точке М.
6.1
,
(1;2),
6.2
,
(0,6;0,8),
6.3
,
(5;0),
6.4
,
(-3;1),
6.5
,
(-1;0),
6.6
,
(4;2),
|
6.7
,
(-2;0),
6.8
,
(0;-1),
6.9
,
(-1;2),
6.10
,
(5;-4),
6.11 |
,
(0,6;0,8),
