9. Специальные бинарные отношения:

Пусть Р – бинарное отношение на множестве А:

Отношение Р называется рефлексивным, если для всех выполняется , т.е . Отношение Р называется симметричным, если для любых из следует , т.е Р^-1=Р, или [P]^T=[P]. Отношение Р называется антисимметричным, если из и следует, что x=y, т.е , или на языке матриц это означает, что в матрице все элементы вне главной диагонали являются нулевыми. Отношение Р называется транзитивным, если из и следует , т.е

6. Функция. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности. Частичная функция.

Отношение называется функцией или отображением из множества А в множество В, если и из (x,y₁) є f, (x,y₂) є f следует y₁=y₂. Если вместо выполняется , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через или . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или . Функция называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что выполняется х₁≠х₂, следует y₁≠y₂. Функция называется функцией из А на В или сюръекцией, если . Функция называется взаимно однозначным соответствием между множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Биекция называется подстановкой.

Утверждения:

1. Если , , то

2. Если , то

3. Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция.

4. Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция

5. Если f и g – биекции, то f•g – биекция

6. Если , то

Функция называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b₀, f(1)=b₁,…, f(n)=b_n.

6. Эквивалентность множеств. Мощности множества. Сравнение мощностей. Типы множеств.

Множества А и В называются эквивалентными (А~В), если существует биекция f: А↔В.

Свойства отношения эквивалентности:

1. А~А (поскольку id_A: А↔А);

2. если А~В, то В~А (т.к. из f: А↔В следует f^-1: В↔А);

3. если А~В и В~С, то А~С (т.к. из f: А↔В, g: В↔С следует f•g: А↔С).

Мощностью множества А называется класс всех множеств, эквивалентных множеству А (|А|).

Эквивалентные множества А и В называются равномощными: |A|=|B|.

Если А~n для некоторого , т.е. А имеет ровно n элементов, то множество А называется конечным (|A|=n).

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А~ω, то множество А называется счетным: |A|=ω. Если А~2^ω, то множество А называется континуальным или континуумом: |A|=2^ω.

Мощности множеств также иногда называют кардинальными числами.

Сравнение мощностей:

Говорят, что мощность множества А не превосходит мощности множества В: |A|≤|B|, если А эквивалентно некоторому подмножеству множества В

Операции над кардинальными числами:

Пусть |A|=α, |B|=β. Тогда

1) ;

2) ;

3) .

Правило суммы: Если |A|=m, |B|=n, то .

Правило произведения: Если |A|=m, |B|=n, то .

Правило степени: Если |A|=m, |B|=n, то |A^B|=mⁿ. .

Мощность булеана:

|P(U)|=2^|U| для любого множества U.

Доказательство:

Установим биекцию между Р(U) и 2^А

Любому подмножеству А из U взаимно однозначно ставим в соответствие функцию , для которой

т.е. P(U)~2^U. Заметим, что 2^|U|=|2^U|.