24. Центральная предельная теорема.

Пусть - последовательность независимых случайных величин. Обозначим через их сумму.

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если

- функция нормального распределения.

Теорема. Если - послед-ть независимых и одинаково распределенных с.в., имеющих конечное мат.ожидание , и дисперсию , то для этой последовательности выполняется ЦПТ.

Суть ЦТП

Если число с.в. неограниченно растет, то их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того, как распределены слагаемые.

В природе все имеет нормальное распределение.

25. Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов из которых взята выборка называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга.

Пусть в выборке значении x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз.

Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты, ∑n_i объем выборки

n_i/n =w_i– относительные частоты.

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

26. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения называется функция, определяющая для каждого значения x относительную частоту события : - число вариант меньших , - объем выборки.

В теории вероятностей определяет вероятность события . На основании теоремы Бернулли при эмпирическая функция распределения стремится к теоретической

.

Таким образом, эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоретической функции определения.

Свойства:

1. Для любого x функция распределения заключена в интервале от 0 до 1: .

2. – неубывающая функция.

3. непрерывна слева в каждой точке .

4. Если , то для каждого

_Если , то для каждого

27. Полигон и гистограмма.

Для наглядности изображения выборки строят различные графики стат. Распределения: полигон, гистограмму.

Полигон частот - номинал, соединяющий точки (x_i, n_i)

Для изучения непрерывного признака строятся гистограмма. Для этого интервал (a;b) делится на несколько частичных интервалов одинаковой длины h. Затем подсчитываем число вариант, попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы h, а высоты равны n_i/h (плотности частоты)

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы – n.

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси y откладывается w_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы –

28. Числовые характеристики выборки.

1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значение выборки

2. Выборочная дисперсия – ср. значение квадратов отклонений вариант от средней

3. Выборочное ср. отклонение – корень из дисперсии

4. Размах варьирования

R=x_max-x_min

D, R, - характеристики рассеяния (разброса).

5. Мода - варианта, которая имеет наибольшую частоту. M₀

6. Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, то m_e=x_k+1; при четном m_e=(x_k+x_k+1)/2.

Для нормального распределения мода и медиана совпадают.

7. Начальным моментом порядка k называется среднее арифметическое вариант в степени k.

8. Центральным эмпирическим моментом порядка k называется среднее значение отклонений в степени k

m₁=0; m₂=D_B

9. Асимметрией называется

Для нормального распределения равна 0.

10. Эксцессом называется

Для нормального распределения равен 0.

Эксцесс показывает островершинность кривой по сравнению с нормальным распределением.