Основные понятия
Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества:
‑ множество натуральных чисел;
‑ множество целых чисел;
– множество рациональных или дробных
чисел;
‑ множество действительных чисел.
Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.
Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом
Некоторое
непустое подмножество
множества действительных чисел
называют ограниченным сверху (снизу),
если существует действительное число
такое, что
выполняется неравенство
(
).
Всякое число с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества .
Непустое подмножество множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
В противоположность этому определению, множество называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества , всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) .
Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.
Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup . Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf . Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).
Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.
Граница множества – совокупность граничных точек множества.
(множество натуральных чисел) ограниченно
снизу (например, числом
)
и не ограничено сверху;
(множество действительных чисел) неограничено;
множество отрицательных чисел неограничено снизу и ограничено сверху.
Соединения. Бином Ньютона.
Рассмотрим
совокупность
различных элементов
.
Произвольная упорядоченная выборка
из этих элементов
(
)
называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.
Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.
Размещениями
из
элементов по
(
)
называют их соединения, каждое из которых
содержит ровно
различных элементов (выбранных из
данных элементов) и которые отличаются
либо сами элементами, либо порядком
элементов.
Определим
число размещений
из
элементов
по
.
Будем
строить произвольное соединение
последовательно. Сначала определим его
первый элемент
.
Очевидно, что из данной совокупности
элементов его можно выбрать
различными способами. После выбора
первого элемента
,
для второго элемента
остается
способов выбора и т.д. Так как каждый
такой выбор дает новое размещение, то
все эти выборы можно свободно комбинировать
между собой. Для
элементов формула приобретает вид:
Соединения
из
элементов, каждое из которых содержит
все
элементов, и которые отличаются лишь
порядком элементов, называются
перестановками
.
Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Сочетаниями
из
элементов по
(
)
называют такие их соединения, каждое
из которых содержит ровно
данных элементов, и которые отличаются
хотя бы одним элементом.
Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .
Делая
в каждом из них
возможных перестановок их элементов,
очевидно, получим все размещения из
элементов по
:
.
Числа
являются коэффициентами в формуле
бинома Ньютона:
Свойства сочетаний:
Свойства
1 и 2 очевидно следуют из определения
,
свойства 3 и 4 доказываются с помощью
бинома Ньютона, полагая для свойства 3
что
и
,
а для свойства 4 что
и
.
Свойство 5 можно проверить следующим
образом:
Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:
|
|
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.