Задача линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Каноническая задача линейного программирования в координатной форме записи имеет вид:

Используя знак суммирования эту задачу можно записать следующим образом:

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид:

В данном случае введены векторы

,

, ,

Здесь – скалярное произведение векторов и .

Каноническая задача линейного программирования в матричной форме записи имеет вид

где

, .

Здесь – матрица коэффициентов системы уравнений,

– матрица-столбец переменных задачи; – матрица-столбец правых частей системы ограничений.

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые в матричной форме записи имеют вид:

или

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако, при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формулируются системы неравенств, поэтому возникает необходимость перехода от системы неравенств к системе уравнений. Это может быть сделано следующим образом. К левой части линейного неравенства

прибавляется величина , такая, что переводит неравенство в равенство ,

где

.

Неотрицательная переменная называется дополнительной переменной.

Основания для возможности такого преобразования дает следующая теорема.

Теорема. Каждому решению неравенства

соответствует единственное решение уравнения

и неравенства , и, наоборот, каждому решению уравнения

и неравенства соответствует единственное решение неравенства

.

Доказательство. Пусть – решение неравенства . Тогда

или

Если в уравнение вместо переменных подставить значения = , получится

Таким образом, решение удовлетворяет уравнению

и неравенству . Доказана первая часть теоремы.

Пусть удовлетворяет уравнению и неравенству , т.е. и . Отбрасывая в левой части равенства неотрицательную величину , получим

т.е. удовлетворяет неравенству

что и требовалось доказать.

Если в левую часть неравенств системы ограничений вида , добавить переменную , , то получится система ограничений – уравнений , . В случае, если система неравенств–ограничений имеет вид , , то из левой части неравенств–ограничений нужно вычесть соответствующую неотрицательную дополнительную переменную , .

Полученная таким образом система уравнений–ограничений, вместе с условиями неотрицательности переменных, т.е. , и целевой функцией является канонической формой записи задачи линейного программирования.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значения.

В реальных практических задачах дополнительные неизвестные имеют определенный смысл. Например, если левая часть ограничений задачи отражает расход ресурсов на производство продукции в объемах , , а правые части - наличие производственных ресурсов, то числовые значения дополнительных неизвестных , означают объем неиспользованных ресурсов -го вида.

Иногда возникает также необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций при оптимальных решениях отличаются только знаком.