Линейное преобразование переменных
Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных с помощью линейных однородных функций
Линейное преобразование вполне определяется матрицей размером , составленной из коэффициентов при . Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования или матрицей линейного оператора.
Пусть
и
– два линейных пространства размерности
и
соответственно. Отображение
называется линейным оператором, если:
Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей называется невырожденным, если матрица невырожденная и вырожденным, если матрица вырожденная.
Теорема.
Для всякого невырожденного линейного
преобразования переменных с квадратной
матрицей
существует обратное преобразование,
которое является также линейным, и его
матрица равна
.
Собственные значения и собственные вектора матриц
Число
называется собственным значением
(или характеристическим числом) квадратной
матрицы
порядка
,
если можно подобрать такой
–мерный
ненулевой вектор
,
что
.
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу
Если
раскрыть определитель матрицы
,
то получится многочлен
–й
степени:
Этот
многочлен называется характеристическим
многочленом матрицы
.
Его коэффициенты
зависят от элементов матрицы
.
Понятие многочлена будет подробно
разобрано в следующем разделе.
Следует
отметить, что
,
.
Уравнение
называется характеристическим уравнением
матрицы
.
Теорема.
Множество
всех собственных значений матрицы
совпадает с множеством всех решений
характеристического уравнения
матрицы
.
Доказательство:
,
–
ненулевой набор чисел,
–
вырожденная матрица
–
решение уравнения
.
Собственным вектором квадратной
матрицы
порядка
,
принадлежащим ее собственному значению
называется
-мерный
вектор
,
для которого
.
Множество всех собственных векторов
матрицы
,
принадлежащих ее собственному значению
,
обозначим через
.
Отыскание собственных векторов сводится
к решению однородной системы линейных
уравнений.
Теорема. Множество
всех собственных векторов матрицы
порядка
,
принадлежащих ее собственному значению
,
совпадает с множеством всех решений
однородной системы линейных уравнений
,
где
Доказательство:
В развернутом виде равенство
записывается как система уравнений:
Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы сводится к поиску ненулевого решения системы линейных однородных уравнений с неизвестными , которые являются координатами вектора . Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие
,
т.е. число является собственным числом матрицы .
Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.
Теорема.
Предположим, что квадратная матрица
-го
порядка имеет
линейно независимых собственных
векторов. Тогда если взять эти векторы
в качестве столбцов матрицы
,
то матрица
будет диагональной матрицей, у которой
на диагонали стоят собственные значения
матрицы
,
т.е.
Теорема.
Если
и
– два различных собственных значения
симметрической матрицы
,
то соответствующие им собственные
векторы
и
удовлетворяют соотношению
,
т.е. они ортогональны.
Таким образом собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы станет ортонормированной, а матрица , столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.
Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.
Теорема.
Матрица
является ортогональной тогда и только
тогда, когда
.
В
соответствии с этой теоремой
,
и преобразование
эквивалентно преобразованию
При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена. Подробный анализ понятия многочлена приводится в следующем разделе.