Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между и ).
Точки
и
называются фокусами гиперболы.
Пусть по-прежнему расстояние между
фокусами равно
.
Модуль расстояний от точек гиперболы
до фокусов
и
обозначим через
.
По условию,
.
Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:
|
(7.6) |
где
‑ координаты произвольной точки
гиперболы,
.
Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.
Из
уравнения (7.6) видно, что
.
Это означает, что вся гипербола
располагается вне полосы, ограниченной
прямыми
и
.
Так как
в уравнение входят только четные степени
и
,
то гипербола симметрична относительно
каждой из координатных осей и начала
координат. Поэтому достаточно построить
эту кривую в первой четверти: в остальных
четвертях гипербола строится по
симметрии. Из уравнения (7.6) для первой
четверти, имеем:
.
График
этой функции от точки
уходит неограниченно вправо и вверх
(Рис. 7.7), и как угодно близко подходит
к прямой
|
(7.7) |
Поэтому
говорят, что гипербола асимптоматически
приближается к прямой (7.7), и эту прямую
называют асимптотой гиперболы. Из
симметрии гиперболы следует, что у нее
две асимптоты
.
Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны и параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).
Рис 7.8.
Г
ипербола
состоит из двух отдельных ветвей. Центр
симметрии гиперболы называется ее
центром, оси симметрии называются осями
гиперболы. Точки
и
пересечения гиперболы с осью
называются вершинами гиперболы. Величины
и
называются полуосями гиперболы. Если
,
то гипербола называется равносторонней.
Эксцентриситетом
гиперболы называется число
.
Для любой гиперболы
.
Эксцентриситет характеризует форму
гиперболы: чем меньше, тем больше
вытягивается гипербола вдоль оси
.
На Рис. 7.9 изображены гиперболы с
различными значениями
.
Рис. 7.9
Фокальными
радиусами точки гиперболы называются
отрезки прямых, соединяющие эту точку
с фокусами
и
.
Их длины
и
задаются формулами:
Для
правой ветви
,
Для
левой ветви
.
Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .
Парабола
Параболой
называется линия, состоящая из всех
точек плоскости, равноудаленных от
данной точки
(фокуса) и данной прямой
(директрисы).
Для
вывода канонического уравнения параболы
ось
проводят через фокус
перпендикулярно директрисе
в направлении от директрисы к фокусу;
начало координат берут в середине
отрезка между фокусом
и точкой
пересечения оси
с директрисой
.
Если обозначить через
расстояние фокуса от директрисы, то
и уравнение директрисы будет иметь вид
.
В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:
|
(7.8) |
Это
уравнение называется каноническим
уравнением параболы. Из уравнения (7.8)
видно, что
может принимать только неотрицательные
значения. Значит, на рисунке вся парабола
располагается справа от оси
.
Так как уравнение (7.8) содержит
только в четной степени, то парабола
симметрична относительно оси
и поэтому достаточно рассмотреть ее
форму в первой четверти. В этой четверти
.
При неограниченном возрастании неограниченно растет и . Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.
Сделаем рисунок параболы (Рис. 9.9).
Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.