Взаимное расположение прямых

Пусть даны две прямые:

и .

Эти прямые заданы своими точками и и направляющими векторами и . Поэтому

.

Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна соответственно параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:

или .

Условие параллельности .

Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:

1. Прямые совпадают: , т.е. .

2. Прямые параллельны: непараллелен , но , т.е. .

3. Прямые пересекаются: непараллелен , но , , ‑ компланарны, т.е.

   (8)

4. Прямые скрещиваются: , , ‑ некомпланарны, т.е. .

Условие (8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.

Контрольные вопросы к теме

1. Общее уравнение прямой.

2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

3. Каноническое уравнение пямой.

4. Векторное параметрическое уравнение прямой.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Расчет угла между прямыми.

7. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.

Лекция 6. Плоскость

Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

поверхность; поверхность -го порядка; общее уравнение плоскости; нормальный вектор плоскости; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости; отклонением точки от плоскости.

Основные понятия

Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида .

Если ‑ многочлен -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью -го порядка или просто поверхностью -го порядка.

Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени

(1)

определяет плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Вектор , координатами которого являются коэффициенты при в уравнении (1) перпендикулярен плоскости (1) по свойству 4 скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор называют нормальным вектором плоскости (1).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору , имеет вид

(2)

Очевидно, что уравнение (1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

Рассмотрим частные случаи.

1. 1. если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как вектор нормали к этой плоскости перпендикулярен оси (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).

   2. Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси .

   3. Если . То уравнение определяет плоскость, параллельную оси .

   4. Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости . В этом случае вектор нормали перпендикулярен к осям и , т.е. к плоскости .

   5. При имеем или ‑ уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .

   6. Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости .

2. .

   1. Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют этому уравнению.

   2. Если , то уравнение определяет плоскость, вектор нормали которой . Эта плоскость проходит через ось .

   3. Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .

   4. Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .

   5. Если , то уравнение или определяет плоскость . Аналогично, уравнения и определяют соответственно плоскости и .

Если в уравнении (1) все коэффициенты отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:

(3)

Здесь ‑ величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (Рис. 8.1).